«Начала» Лежандра и их значение.

Новая эпоха в постановке преподавания наступила в конце столетия в результате великих переворотов, вызванных французской революцией 1789 г.

Если до этого времени речь всегда шла главным образом лишь об образовании людей высшего сословия, в частности, о подготовке к военной карьере, то теперь на первый план выступают новые социальные слои буржуазии, и перед преподаванием ставятся новые цели, в него вводятся новые методы. Здесь я должен выделить два направления в эволюции преподавания геометрии, связанные с двумя высшими школами, основанными тогда в Париже, — с «Политехнической школой» и «Высшей нормальной школой». Первая из них, отвечая потребностям получившей тогда новый подъем техники, должна была готовить гражданских и военных инженеров, а вторая — учителей для старших классов, В Политехнической школе наибольшим влиянием пользовался знаменитый Монж. Он создал там ту постановку преподавания геометрии, которая еще и теперь существует в высших технических школах и подобных им институтах; сюда относятся прежде всего обширные курсы начертательной и аналитической геометрии. Существенным новшеством по сравнению с прежней постановкой преподавания является то, что теперь преуспевают не только немногие особенно интересующиеся слушатели, но благодаря целесообразной организации большое число студентов одновременно плодотворно выполняют каждый свою работу. На современников Монжа произвело особенно сильное впечатление, когда он в первый раз вел практические занятия, при которых до 70 человек одновременно работало над своими чертежными досками.

А в Нормальной школе в это время работал Лежандр, на долгое время оказавший своими знаменитыми «Началами геометрии» решающее влияние на преподавание геометрии.

Эта книга приобрела наибольшее после «Начал» Евклида распространение из всех учебников элементарной геометрии, причем замечательно то, что, как я уже указывал, это относится не только к Франции, где ее переиздавали снова и снова в течение всего XIX столетия, но и к другим странам.

В частности, в Америке и Италии она долгое время занимала ведущее положение.

По сравнению с Клеро или тем более с Рамусом книга Лежандра означает большой шаг назад к Евклиду. Ее главной целью снова является установление замкнутой абстрактной системы элементарной геометрии. Но, с другой стороны, имеются и существенные отличия по сравнению с Евклидом, которые я теперь изложу более подробным образом, имея в виду великое историческое значение Лежандра.

1) Что касается стиля изложения, то у Лежандра мы имеем связный, удобочитаемый текст-, по своей внешней форме он гораздо ближе к изложению Клеро, которое я выше восхвалял, чем к манере писания Евклида, расчлененной — я бы даже сказал, изрубленной, — и утомительной своим однообразием.

2) Относительно содержания самым существенным является то, что Лежандр в противоположность Евклиду сознательно пользуется в геометрии элементарной арифметикой своего времени-, таким образом, он является сторонником — употребим это слово — слияния (Fusion) арифметики и геометрии и даже охватывает в этом слиянии также и тригонометрию, которую он тоже излагает в своей книге.

3) Принципиальная установка Лежандра сравнительно с евклидовой несколько смещена от логической стороны к интуитивной. Евклид — как я уже достаточно часто отмечал — все свое внимание направляет на систему логических выводов, которую он стремится во всяком случае сохранить свободной от примеси интуитивных элементов; все факты интуиции, которые он считает нужным использовать, он предпосылает собранными в виде своих аксиом и т. д. В противоположность этому Лежандр не боится употреблять при случае интуитивные соображения также и в процесс дедуктивного доказательства геометрической теоремы.

4) Для большей конкретности представляется особенно интересным сопоставить трактовку иррациональных кисел у обоих авторов. В 5-й книге Евклида содержится, как мы знаем, подробное определение и исследование понятия иррационального числа в форме логоса или отношения двух несоизмеримых величин в полной аналогии с современной теорией иррационального числа.

В дальнейшем своем изложении Евклид всегда особенно тщательно проводит доказательства тех теорем, в которые по самой природе вопроса входят иррациональные числа, со строгостью, удовлетворяющей даже теперешним нашим требованиям (доказательства по методу исчерпывания!). Лежандр же бегло скользит мимо всех этих пунктов. Числа — как рациональные, так и иррациональные — он считает известными из арифметики, в которой тогда тоже не слишком много ломали себе голову над их строгим обоснованием. Доказательство по методу исчерпывания и тому подобного он не признает; ему представляется совершенно очевидным без всяких пояснений, что предложение, справедливое для всех рациональных чисел, справедливо также и в случае чисел иррациональных. Впрочем, и в этом отношении Лежандр сходится со всеми другими великими математиками своего времени. В прошлом семестре я как раз приводил вам пример такой точки зрения из «Теории аналитических функций» Лагранжа.

5) Несмотря на такое вольное обращение с логической строгостью в деталях, Лежандр никоим образом не относится равнодушно к принципиальным вопросам об основаниях геометрии, в этом смысле он в противоположность своим предшественникам во Франции не только воспринимает с полным интересом евклидову традицию, но даже развивает ее дальше, вводя существенно новые идеи.