Теорема Эйлера о многогранниках.

То, что Analysis situs находит себе применение в физике, в частности в теории потенциала, является хорошо известным. Но он имеет точки соприкосновения также и со школьным преподаванием, а именно, в виде эйлерова предложения о многогранниках, о котором я в заключение скажу, еще несколько слов.

Эйлер подметил, что для обыкновенного многогранника с плоскими гранями, имеющего Е вершин, К ребер и F граней, всегда оправдывается соотношение

Если теперь станем как-либо взаимно однозначно и непрерывно деформировать этот многогранник, то в этих трех числах, а значит, и в этом равенстве ничто не изменится; следовательно, это равенство сохранит силу и в том случае, если Е, F, К будут означать числа вершин, поверхностей (граней) и ребер при любом разбиении сферической поверхности или вообще какой-нибудь гомеоморфной ей поверхности, лишь бы только каждая частичная область (грань) была односвязна. И вот оказывается, что эту теорему легко можно сразу обобщить на поверхности любого рода. Если какую-нибудь поверхность, допускающую ровно не разбивающих ее на части замкнутых линий сечения, разделить посредством К конечных дуг на F односвязных участков поверхности и если при этом образуется Е вершин, то

Я предоставляю вам самим подобрать к этому примеры, а также найти доказательство или прочесть о нем; имеют место, конечно, еще гораздо более широкие обобщения этой теоремы.

На этом мы оставляем общее учение о точечных преобразованиях и попытаемся дать обзор важнейших классов таких преобразований, которые переводят точки в пространственные элементы иного рода.