§ 111. Распределение Гаусса для нескольких величин

В предыдущем параграфе мы рассматривали вероятность отклонения какой-либо одной термодинамической величины от ее среднего значения, не интересуясь при этом значениями других величин, т. е. считая значения последних произвольными. Аналогичным образом можно определить вероятность одновременного отклонения ряда термодинамических величин от своих средних значений; эти отклонения мы обозначим посредством

Вводим энтропию как функцию рассматриваемых величин и пишем распределение вероятностей в виде с w из (110,1). Разлагаем S по степеням с точностью до членов второго порядка разность представится в виде существенно отрицательной квадратичной формы

(очевидно, что ). Ниже в этом параграфе мы будем опускать знаки суммирования и по дважды повторяющимся индексам везде подразумеваем суммирование (по всём значениям от 1 до ). Таким образом, пишем:

(111,1)

Подставляя это выражение в (110,1), находим для искомого распределения вероятностей формулу

(111,2)

Постоянная А определяется условием нормировки в котором (по той же причине, что и в § 110) интегрирование по всем можно производить в пределах от до Для вычисления этого интеграла поступим следующим образом. Произведем над величинами линейное преобразование

(111,3)

которое превращает квадратичную форму в сумму квадратов . Для того чтобы было

надо, чтобы коэффициенты преобразования удовлетворяли соотношениям

Определитель матрицы величин, стоящих в левой стороне этого равенства, равен произведению определителя и двух определителей . Определитель же . Поэтому из написанного соотношения следует, что

(111,5)

Якобиан линейного преобразования от переменных к переменным есть постоянная величина — определитель а. Поэтому после проведения преобразования нормировочный интеграл распадается на произведение одинаковых интегралов и с учетом (111.5) получим

Таким образом, находим окончательно распределение Гаусса для нескольких величин в виде

Введем величины

(111,7)

которые назовем термодинамически взаимными с величинами . Определим средние значения произведений :

Для вычисления интеграла допустим на минуту, что средние значения равны не нулю, а некоторым конечным Тогда в (111.6) надо писать вместо и, согласно определению средних значений, получим

Дифференцируя это равенство по и полагая затем снова все равными нулю, получим справа а слева — как раз нужный нам интеграл.

Таким образом, находим

(111,8)

Подставив сюда (111,7), получим: > откуда

(111,9)

где — элемент матрицы, обратной матрице

Наконец, определим еще Согласно имеем , т. е.

(111,10)

Легко определить также средний квадрат флуктуации любой функции Поскольку отклонения от средних значений малы, то , где под понимаются значения производных при . Отсюда

Если флуктуации каких-либо двух величин (назовем их ) статистически независимы, то среднее значение равно произведению средних значений и поскольку каждое из последних равно нулю, то обращается в нуль и по (111,9) это означает, что Легко видеть, что при гауссовом распределении вероятностей справедлива и обратная теорема: если , то флуктуации величин статистически независимы.

Действительно, распределение вероятностей для величин получается интегрированием распределения (111,6) по всем остальным при этом получится выражение вида

(в котором коэффициенты Р, вообще говоря, отличны от соответствующих компонент ). Применив к этому распределению формулу (111,9), найдем, что Если , то . Но для матрицы второго ранга обращение в нуль компоненты обратной матрицы означает равенство нулю также компоненты прямой матрицы. В результате распадается на произведение двух независимых гауссовых распределений для величин что и означает их статистическую независимость.

Задача

Определить среднее значение , где — постоянные, а - флуктуирующие величины, подчиняющиеся гауссовому распределению (111,2).

Решение. Требуется вычислить интеграл

Преобразованием (111,3) показатель подынтегральной экспоненты приводится

после чего интегрирование дает

Согласно (111,4) имеем и затем . Таким образом, с учетом (111,9) имеем окончательно