ГЛАВА V. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ
§ 53. Распределение Ферми
Если температура идеального газа (при заданной его плотности) достаточно низка, то статистика Больцмана становится неприменимой, и должна быть построена другая статистика, в которой средние числа заполнения различных квантовых состояний частиц не предполагаются малыми.
Эта статистика, однако, оказывается различной в зависимости от того, какого рода волновыми функциями описывается газ, рассматриваемый как система N одинаковых частиц. Как известно, волновые функции должны быть либо антисимметричными, либо симметричными по отношению к перестановкам любой пары частиц, причем первый случай имеет место для частиц с полуцелым, а второй для частиц с целым спином.
Для системы частиц, описывающейся антисимметричными волновыми функциями, справедлив принцип Паули: в каждом квантовом состоянии может находиться одновременно не более одной частицы. Статистика, основанная на этом принципе, называется статистикой Ферми (или статистикой Ферми-Дирака).
Подобно тому как мы это делали в § 37, применим распределение Гиббса к совокупности всех частиц газа, находящихся в данном квантовом состоянии; как уже указывалось в § 37, это можно делать и при наличии обменного взаимодействия между частицами. Снова обозначим посредством 
термодинамический потенциал этой системы частиц и, согласно общей формуле (35,3), будем иметь
поскольку энергия 
частиц в k-м состоянии есть просто 
. Согласно принципу Паули числа заполнения каждого состояния могут принимать лишь значения 0 или 1. Поэтому получаем
Поскольку среднее число частиц в системе равно производной от потенциала 
по химическому потенциалу 
взятой с обратным знаком, то в данном случае искомое среднее число частиц в 
квантовом состоянии получится как производная
или окончательно
Это и есть функция распределения для идеального газа, подчиняющегося статистике Ферми, или, как говорят коротко, для ферми-газа. Как и следовало, все 
. При 
формула (53,2) переходит, естественно, в функцию распределения Больцмана.
Распределение Ферми нормировано условием
где 
- полное число частиц в газе. Это равенство определяет в неявном виде химический потенциал как функцию Т и 
Термодинамический потенциал 
газа в целом получается суммированием по всем квантовым состояниям
