§ 68. Сильно анизотропные кристаллы

В конце § 66 было отмечено, что формула Дебая фактически неприменима к кристаллам сложной структуры. Сюда относятся, в частности, сильно анизотропные кристаллические структуры «слоистого» и «цепочечного» типов. Первые можно описать как состоящие из параллельных слоев атомов, причем энергия взаимодействия атомов внутри каждого слоя велика по сравнению с энергией связи соседних слоев.

Аналогичным образом цепочечные структуры построены из сравнительно слабо связанных друг с другом параллельных цепочек атомов. Спектр звуковых колебаний таких кристаллов будет характеризоваться не одной, а несколькими дебаевскими температурами, различными по порядку величины. Закон для теплоемкости будет иметь при этом место лишь при температурах, малых по сравнению с наименьшей из дебаевских температур; в промежуточных же областях возникают новые предельные законы (И. М. Лифшиц, 1952).

Начнем со случая слоистых структур. Наибольшей жесткостью такая решетка обладает по отношению к колебаниям атомов в плоскости слоев (которую выберем в качестве плоскости жесткости же решетки по отношению к колебаниям слоев как целых друг относительно друга сравнительно очень малы. Эти свойства приводят к характеру зависимости частоты от волнового вектора (закону дисперсии) в трех ветвях спектра звуковых волн, выражающемуся следующими формулами, которые мы выпишем здесь в предположении гексагональной симметрии кристалла:

причем . Здесь скорости распространения относятся к колебаниям атомов в плоскости слоев, (в ветвях ) - к колебаниям сдвига слоев относительно друг друга, — — к колебаниям относительного расстояния между слоями.

Выражения (68,1), однако, еще недостаточны для исследования тепловых свойств кристалла. Эти выражения представляют собой в действительности лишь первые члены разложения функций по степеням волнового вектора. Но ввиду «аномальной» малости некоторых коэффициентов в квадратичных членах этих разложений начинают играть существенную роль также и члены следующего, четвертого порядка.

Для выяснения их вида замечаем, что при полном пренебрежении связью между слоями законы дисперсии волн имели бы вид

Частоты отвечают продольным колебаниям в плоскости слоев, а частота — поперечным колебаниям, представляющим собой в этом случае волны изгиба слоев, рассматриваемых как свободные упругие тонкие пластинки (ср. VII, § 25). Поэтому, пренебрегая в членах четвертого порядка малыми слагаемыми, зависящими от связи между слоями, напишем окончательно закон дисперсии волн в виде

Будем считать, что и введем обозначение для малого отношения характеризующего относительную величину энергии связи между слоями по сравнению с энергией связи между атомами в одном слое. Введем также дебаевскую температуру (точнее — наибольшую из дебаевских температур) как , где - предельная частота «жестких» колебаний (а — постоянная решетки); предельная же частота «мягких» колебаний мала по сравнению с в отношении . Наконец, естественно считать, что предельная частота волн изгиба того же порядка или меньше чем пусть она . В этих условиях выясним характер температурной зависимости теплоемкости кристалла при

С учетом вклада от звуковых колебаний, свободная энергия тела определяется формулой

где суммирование ведется по трем ветвям спектра, а интегрирование по всей области изменения волнового вектора.

Если то можно пренебречь связью между слоями и соответственно воспользоваться спектром (68,2). Основной вклад в свободную энергию возникает от «изгибной» ветви Ввиду быстрой сходимости при Т интегрирование по можно распространить от до

Заменив его интегрированием по путем очевидной подстановки найдем

Интегрирование по (по области ) дает не зависящий от температуры множитель — . В результате найдем, что температурная часть свободной энергии пропорциональна Та и соответственно для теплоемкости

При Т в интегралах (68,4) надо писать для их полные выражения (68,4), а интегрирование по всем компонентам к можно распространить от до . Получающаяся таким образом температурная зависимость свободной энергии довольно сложна, но в ней можно выделить еще два предельных случая. Если то основной вклад снова возникает от ветви причем в ней можно опустить член с т. е. писать

Действительно, основную роль в интеграле по играют при этом значения а тогда Теперь находим

и в результате для теплоемкости

Наконец, при тем же способом убеждаемся, что в (68,3) можно опустить член с после чего мы возвращаемся к звуковому спектру (68,1) с линейной зависимостью от величины k, и для теплоемкости получается закон Дебая

Аналогичным путем можно рассмотреть кристаллы цепочечной структуры (направление цепей выбираем в качестве оси ). В этом случае законы дисперсии в трех ветвях спектра звуковых волн имеют вид

причем теперь

В пренебрежении взаимодействием между цепями законы (68,8) сводятся к

ветвь отвечает продольным колебаниям атомов в цепях, а ветви и - волнам изгиба цепей, рассматриваемых как упругие нити. Полагая их и снова вводя малый параметр и дебаевскую температуру можно получить следующие предельные законы температурной зависимости теплоемкости: