§ 117. Корреляция флуктуаций плотности в вырожденном газе

Как уже было отмечено в предыдущем параграфе, в классическом идеальном газе никакой корреляции между положениями различных частиц вообще нет. В квантовой механике, однако, такая корреляция возникает ввиду косвенного взаимодействия частиц идеального газа в силу принципа симметрии волновых функций

Задача об определении корреляционной функции в вырожденном газе наиболее просто может быть решена методом вторичного квантования (который уже был применен в § 80 для вычисления энергии электронного газа).

Как известно, в этом методе плотности числа частиц отвечает оператор

после подстановки -операторов (80,5) он выражается суммой

(117,1)

где суммирование производится по всем значениям импульсов (для свободных частиц в объеме V) и по проекциям спина а, Но ввиду ортогональности спиновых волновых функций, отвечающих различным значениям а, фактически отличны от нуля лишь члены суммы с . В произведениях нормированные спиновые множители дают единицу, так что волновые функции можно писать просто в виде координатных плоских волн

(117,2)

Легко видеть, что диагональные члены суммы дают как раз среднюю плотность поскольку оператор есть просто число частиц про в данном квантовом состоянии, то сумма этих членов равна

Поэтому можно написать

(117,3)

где штрих у знака суммы означает, что диагональные члены в ней должны быть опущены. С помощью этого выражения не представляет труда вычислить интересующее нас среднее значение

Вычисление среднего значения производится в два этапа. Прежде всего надо произвести квантовомеханическое усреднение по состояниям частиц. Это усреднение сводится к взятию соответствующего диагонального матричного элемента данной величины. Перемножив два оператора (117,3), относящиеся к двум различным точкам мы получим сумму членов, содержащих различного рода произведения операторов , взятых по четыре. Но из всех этих произведений имеют диагональные матричные элементы лишь те, которые содержат две пары операторов с одинаковыми индексами, т. е. члены

Эти члены представляют собой диагональные матрицы, причем

(здесь и везде ниже верхний знак относится к случаю статистики Ферми, а нижний — к статистике Бозе). Подставляя также функции получим

Это выражение должно быть теперь усреднено в статистическом смысле, т. е. по равновесному распределению частиц по различным квантовым состояниям. Поскольку частицы, находящиеся в различных квантовых состояниях, ведут себя независимо друг от друга, то усреднение чисел производится независимо. В результате для искомого среднего значения находим

(117,4)

От суммирования по перейдем теперь обычным образом к интегрированию по (при этом ограничение становится несущественным). Интеграл разбивается на две части, из которых первая есть

Интегрирование по дает -функцию которая позволяет положить в оставшемся подынтегральном выражении; после этого остается

Это есть как раз первый член в формуле (116,3). Поэтому для корреляционной функции (второй член в (116,3)) находим следующее выражение:

В равновесном газе распределение частиц по квантовым состояниям дается формулой распределения Ферми или Бозе

(117,6)

Эти числа не зависят от а; поэтому суммирование по а в (117,5) дает просто множитель ( - спин частицы). Таким образом, получаем окончательно следующую формулу для корреляционной функции:

или после интегрирования по направлениям

(117,8)

Приведем также формулу для средних квадратов компонент Фурье флуктуаций плотности, которую легко получить, подставляя из (117,7) в общую формулу (116,13) и производя интегрирование по координатам 2):

Из формулы (117,7) видно прежде всего, что для ферми-газа , а для бозе-газа . Другими словами, у бозе-газа присутствие в некоторой точке пространства частицы увеличивает вероятность нахождения другой частицы вблизи этой точки, т. е. частицы испытывают своеобразное притяжение. В ферми-газе, напротив, частицы проявляют аналогичное отталкивание (ср. замечание в конце § 56).

В соответствии со сказанным в начале этого параграфа в классическом пределе корреляционная функция обращается в нуль: при частота осциллирующего множителя в подынтегральном выражении в (117,7) неограниченно возрастает, и интеграл стремится к нулю.

При функция стремится к постоянному пределу:

Применим формулу (117,8) к ферми-газу при . В этом случае функция распределения есть ступенчатая функция: при и при , где - граничный импульс. Поэтому находим

Рассмотрим не слишком малые расстояния будем считать, что Соответственно этому вычисляем интеграл, сохранив лишь член с наименьшей степенью

Квадрат косинуса быстро меняется на интервалах малых по сравнению с рассматриваемыми расстояниями. Усреднив по такому интервалу, найдем