Главная > Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика.
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА XIII. СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ

§ 128. Элементы симметрии кристаллической решетки

Наиболее распространенные свойства симметрии макроскопических тел заключаются в симметрии расположения частиц в них.

Движущиеся атомы и молекулы не занимают точно определенных мест в теле, и для строгого статистического описания их расположения нужно ввести функцию плотности , определяющую вероятности различных положений частиц: есть вероятность отдельной частице находиться в элементе объема . Свойства симметрии расположения частиц определяются теми преобразованиями координат (переносами, поворотами, отражениями), которые оставляют функцию неизменной. Совокупность всех таких преобразований симметрии данного тела составляет его группу симметрии.

Если тело состоит из различных атомов, то функция должна быть определена для каждого сорта атомов в отдельности; это обстоятельство, однако, для нас не имеет значения, так как все эти функции в реальном теле будут фактически иметь одинаковую симметрию. Для этой же цели могла бы служить также функция , определенная как полная электронная плотность, создаваемая всеми атомами в каждой точке тела.

Наиболее высокой симметрией обладают изотропные тела — тела, свойства которых по всем направлениям одинаковы; сюда относятся газы и жидкости (и аморфные твердые тела). Очевидно, у такого тела для каждой частицы все ее положения в пространстве во всяком случае должны быть равновероятными, т. е. должно быть .

Напротив, в анизотропных твердых кристаллах функция плотности отнюдь не сводится к постоянной. Она представляет собой в этом случае троякопериодическую функцию (с периодами, равными периодам кристаллической решетки) и имеет резкие максимумы в точках, соответствующих узлам решетки.

Наряду с трансляционной симметрией решетка (т. е. функция (х, у, z) обладает, вообще говоря, симметрией также и по отношению к различным поворотам и отражениям. Узлы, которые могут быть совмещены друг с другом путем какого-либо преобразования симметрии, называют эквивалентными.

Приступая к изучению симметрии кристаллической решетки, следует начать с выяснения того, из каких элементов эта симметрия может складываться.

Основу симметрии кристаллической решетки составляет ее пространственная периодичность свойство совмещаться сама с собой при параллельных переносах (или, как говорят, трансляциях) на определенные расстояния в определенных направлениях; о трансляционной симметрии подробно будет идти речь в следующем параграфе.

Наряду с трансляционной симметрией решетка может обладать также и симметрией по отношению к различным поворотам и отражениям; соответствующие элементы симметрии (оси и плоскости симметрии, зеркально-поворотные оси) - те же, которыми могут обладать и симметричные тела конечных размеров (см. III, § 91).

Сверх того, однако, кристаллическая решетка может обладать еще и особого рода элементами симметрии, представляющими собой комбинации параллельных переносов с поворотами и отражениями. Рассмотрим сначала комбинацию трансляций с осями симметрии. Комбинирование оси симметрии с параллельным переносом вдоль направления, перпендикулярного к оси, не приводит к новым типам элементов симметрии. Легко убедиться в том, что поворот на некоторый угол с последующим переносом в перпендикулярном к оси направлении равносилен простому повороту на тот же угол вокруг другой оси, параллельной первой. Комбинирование же поворота вокруг оси с параллельным переносом вдоль этой же оси приводит к элементам симметрии нового типа винтовым осям. Решетка обладает винтовой осью n-го порядка, если она совмещается сама с собой при повороте вокруг оси на угол и одновременном переносе на определенное расстояние d вдоль этой же оси.

Производя раз поворот с переносом вокруг винтовой оси порядка, мы в результате просто сдвинем решетку вдоль оси на расстояние, равное . Таким образом, при наличии винтовой оси решетка во всяком случае должна обладать и простой периодичностью вдоль этой оси с периодом, не большим чем

Это значит, что винтовая ось порядка может быть связана только с переносами на расстояния

где а — наименьший период решетки в направлении оси. Так, винтовая ось 2-го порядка может быть только одного типа — с переносом на половину периода; винтовые оси 3-го порядка могут быть связаны с переносом на 1/3 и 2/3 периода и т. д.

Аналогично можно скомбинировать трансляции с плоскостью симметрии. Отражение в плоскости вместе с трансляцией вдоль направления, перпендикулярного к плоскости, не приводит к новым элементам симметрии, так как такое преобразование, как легко убедиться, равносильно простому отражению в другой плоскости, параллельной первой. Комбинирование же отражения с переносом вдоль направления, лежащего в самой плоскости отражения, приводит к новому типу элементов симметрии так называемым плоскостям зеркального скольжения. Решетка обладает плоскостью зеркального скольжения, если она совмещается сама с собой при отражении в этой плоскости и одновременном переносе на определенное расстояние d в определенном направлении, лежащем в этой же плоскости. Двукратное отражение в плоскости зеркального скольжения приводит к простому переносу на расстояние Поэтому ясно, что решетка может обладать только такими плоскостями зеркального скольжения, в которых величина трансляции равна где а — длина наименьшего периода решетки в направлении этой трансляции.

Что касается зеркально-поворотных осей, то их комбинирование с трансляциями не приводит к новым типам элементов симметрии. Действительно, всякий перенос в этом случае можно разложить на две части, из которых одна перпендикулярна к оси, а другая параллельна ей, т. е. перпендикулярна к плоскости отражения. Поэтому зеркально-поворотное преобразование с последующим переносом всегда эквивалентно такому же простому преобразованию вокруг другой зеркально-поворотной оси, параллельной первой.

1
Оглавление
email@scask.ru