ГЛАВА XIII. СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ

§ 128. Элементы симметрии кристаллической решетки

Наиболее распространенные свойства симметрии макроскопических тел заключаются в симметрии расположения частиц в них.

Движущиеся атомы и молекулы не занимают точно определенных мест в теле, и для строгого статистического описания их расположения нужно ввести функцию плотности , определяющую вероятности различных положений частиц: есть вероятность отдельной частице находиться в элементе объема . Свойства симметрии расположения частиц определяются теми преобразованиями координат (переносами, поворотами, отражениями), которые оставляют функцию неизменной. Совокупность всех таких преобразований симметрии данного тела составляет его группу симметрии.

Если тело состоит из различных атомов, то функция должна быть определена для каждого сорта атомов в отдельности; это обстоятельство, однако, для нас не имеет значения, так как все эти функции в реальном теле будут фактически иметь одинаковую симметрию. Для этой же цели могла бы служить также функция , определенная как полная электронная плотность, создаваемая всеми атомами в каждой точке тела.

Наиболее высокой симметрией обладают изотропные тела — тела, свойства которых по всем направлениям одинаковы; сюда относятся газы и жидкости (и аморфные твердые тела). Очевидно, у такого тела для каждой частицы все ее положения в пространстве во всяком случае должны быть равновероятными, т. е. должно быть .

Напротив, в анизотропных твердых кристаллах функция плотности отнюдь не сводится к постоянной. Она представляет собой в этом случае троякопериодическую функцию (с периодами, равными периодам кристаллической решетки) и имеет резкие максимумы в точках, соответствующих узлам решетки.

Наряду с трансляционной симметрией решетка (т. е. функция (х, у, z) обладает, вообще говоря, симметрией также и по отношению к различным поворотам и отражениям. Узлы, которые могут быть совмещены друг с другом путем какого-либо преобразования симметрии, называют эквивалентными.

Приступая к изучению симметрии кристаллической решетки, следует начать с выяснения того, из каких элементов эта симметрия может складываться.

Основу симметрии кристаллической решетки составляет ее пространственная периодичность свойство совмещаться сама с собой при параллельных переносах (или, как говорят, трансляциях) на определенные расстояния в определенных направлениях; о трансляционной симметрии подробно будет идти речь в следующем параграфе.

Наряду с трансляционной симметрией решетка может обладать также и симметрией по отношению к различным поворотам и отражениям; соответствующие элементы симметрии (оси и плоскости симметрии, зеркально-поворотные оси) - те же, которыми могут обладать и симметричные тела конечных размеров (см. III, § 91).

Сверх того, однако, кристаллическая решетка может обладать еще и особого рода элементами симметрии, представляющими собой комбинации параллельных переносов с поворотами и отражениями. Рассмотрим сначала комбинацию трансляций с осями симметрии. Комбинирование оси симметрии с параллельным переносом вдоль направления, перпендикулярного к оси, не приводит к новым типам элементов симметрии. Легко убедиться в том, что поворот на некоторый угол с последующим переносом в перпендикулярном к оси направлении равносилен простому повороту на тот же угол вокруг другой оси, параллельной первой. Комбинирование же поворота вокруг оси с параллельным переносом вдоль этой же оси приводит к элементам симметрии нового типа винтовым осям. Решетка обладает винтовой осью n-го порядка, если она совмещается сама с собой при повороте вокруг оси на угол и одновременном переносе на определенное расстояние d вдоль этой же оси.

Производя раз поворот с переносом вокруг винтовой оси порядка, мы в результате просто сдвинем решетку вдоль оси на расстояние, равное . Таким образом, при наличии винтовой оси решетка во всяком случае должна обладать и простой периодичностью вдоль этой оси с периодом, не большим чем

Это значит, что винтовая ось порядка может быть связана только с переносами на расстояния

где а — наименьший период решетки в направлении оси. Так, винтовая ось 2-го порядка может быть только одного типа — с переносом на половину периода; винтовые оси 3-го порядка могут быть связаны с переносом на 1/3 и 2/3 периода и т. д.

Аналогично можно скомбинировать трансляции с плоскостью симметрии. Отражение в плоскости вместе с трансляцией вдоль направления, перпендикулярного к плоскости, не приводит к новым элементам симметрии, так как такое преобразование, как легко убедиться, равносильно простому отражению в другой плоскости, параллельной первой. Комбинирование же отражения с переносом вдоль направления, лежащего в самой плоскости отражения, приводит к новому типу элементов симметрии так называемым плоскостям зеркального скольжения. Решетка обладает плоскостью зеркального скольжения, если она совмещается сама с собой при отражении в этой плоскости и одновременном переносе на определенное расстояние d в определенном направлении, лежащем в этой же плоскости. Двукратное отражение в плоскости зеркального скольжения приводит к простому переносу на расстояние Поэтому ясно, что решетка может обладать только такими плоскостями зеркального скольжения, в которых величина трансляции равна где а — длина наименьшего периода решетки в направлении этой трансляции.

Что касается зеркально-поворотных осей, то их комбинирование с трансляциями не приводит к новым типам элементов симметрии. Действительно, всякий перенос в этом случае можно разложить на две части, из которых одна перпендикулярна к оси, а другая параллельна ей, т. е. перпендикулярна к плоскости отражения. Поэтому зеркально-поворотное преобразование с последующим переносом всегда эквивалентно такому же простому преобразованию вокруг другой зеркально-поворотной оси, параллельной первой.