§ 130. Кристаллические системы

Займемся теперь рассмотрением всех возможных типов симметрии решеток Бравэ.

Предварительно докажем общую теорему, касающуюся симметрии кристаллических решеток по отношению к поворотам. Выясним, какими осями симметрии может обладать решетка. Пусть А (рис. 55) есть один из узлов решетки Бравэ, через который проходит (перпендикулярно к плоскости рисунка) ось симметрии. Если В — другой узел, отстоящий от А на один из трансляционных периодов, то через В должна проходить другая такая же ось симметрии.

Произведем теперь поворот вокруг оси, проходящей через А на угол ( — порядок оси). Тогда точка В вместе с проходящей через нее осью займет положение В. Аналогично поворот вокруг В переводит точку А в А'.

По условиям построения точки А и В относятся к той же решетке Бравэ и потому могут быть совмещены друг с другом посредством параллельного переноса. Поэтому расстояние АВ тоже должно быть трансляционным периодом решетки. Если а есть кратчайший период в данном направлении, то расстояние АВ должно быть, следовательно, равно с целым . Из рисунка мы видим, что это приводит к уравнению

или

Поскольку , то может быть здесь равным 3, 2, 1, 0. Эти значения приводят соответственно к . Таким образом, кристаллическая решетка может обладать осями симметрии только 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков.

Перейдем теперь к изучению возможных типов симметрии решетки Бравэ по отношению к поворотам и отражениям. Эти типы симметрии носят название кристаллических систем или сингоний. Каждая из них представляет собой определенную совокупность осей и плоскостей симметрии, т. е. является одной из точечных групп.

Рис. 55.

Легко видеть, что каждый узел решетки Бравэ представляет собой ее центр симметрии. Действительно, каждому атому в решетке Бравэ соответствует другой атом, расположенный на одной прямой с данным узлом и первым атомом таким образом, что оба атома находятся на равных расстояниях от узла. Если центр симметрии является единственным (кроме трансляций) элементом симметрии решетки Бравэ, имеет место так называемая

1. Триклинная система. Эта система, наименее симметричная из всех, соответствует точечной группе Узлы триклинной решетки Бравэ расположены в вершинах одинаковых параллелепипедов с произвольными длинами ребер и углами между ними; такой параллелепипед изображен на рис. 56. Решетки Бравэ принято обозначать особыми символами; решетка триклинной системы обозначается как .

2. Моноклинная система является следующей по степени симметричности. Ее элементы симметрии ось второго порядка и перпендикулярная к ней плоскость симметрии, т. е. эта система представляет собой точечную группу Это есть симметрия, которой обладает прямой параллелепипед с произвольным основанием.

Решетка Бравэ этой системы может осуществляться двумя способами. В первом случае — так называемая простая моноклинная решетка Бравэ - узлы расположены в вершинах прямых (в направлении b) параллелепипедов с произвольным параллелограммом в качестве грани (рис. 56). Во втором случае — решетка с центрированными основаниями — узлы расположены не только в вершинах, но и в центрах противоположных прямоугольных граней параллелепипедов.

Рис. 56.

3. Ромбическая (или ортогональная) система соответствует точечной группе . Это есть симметрия прямоугольного параллелепипеда с произвольными длинами ребер. К ромбической системе относятся четыре вида решеток Бравэ. В простой ромбической решетке узлы расположены в вершинах прямоугольных параллелепипедов. В решетке с центрированными основаниями узлы находятся также в центрах двух противоположных граней каждого параллелепипеда.

Далее, в объемнодентрированной решетке узлы находятся в вершинах и центрах параллелепипедов и, наконец, в гранецентрированной решетке узлы находятся, кроме вершин, также и в центрах всех граней.

4. Тетрагональная (или квадратная) система представляет собой точечную группу это есть симметрия, которой обладает прямая призма с квадратным основанием. Решетки Бравэ этой системы могут осуществляться двумя способами. Именно, существуют простая и объемноцентрированная тетрагональные решетки Бравэ (обозначаемые соответственно как и с узлами, расположенными соответственно по вершинам и по вершинам и центрам прямых призм с квадратными основаниями.

Рис. 57.

5. Ромбоэдрическая (или тригональная) система соответствует точечной группе такой симметрией обладает ромбоэдр (фигура, получающаяся при растяжении или сжатии куба вдоль его пространственной диагонали). В единственной возможной в этой системе решетке Бравэ узлы расположены в вершинах ромбоэдров.

6. Гексагональная система соответствует точечной группе такой симметрией обладает правильная шестигранная призма. Решетка Бравэ этой системы (ГЛ) может быть осуществлена только одним способом ее узлы расположены в вершинах правильных шестигранных призм и в центрах их шестиугольных оснований. Полезно указать на следующее различие между ромбоэдрической и гексагональной решетками Бравэ. И в той и в другой узлы расположены в плоскостях, перпендикулярных к оси 6-го (или 3-го) порядка, таким образом, что образуют сетку из равносторонних треугольников. Но в гексагональной решетке в последовательных (вдоль оси ) таких плоскостях узлы расположены непосредственно друг над другом (на рис. 57 эти плоскости изображены в плане). В ромбоэдрической же решетке в каждой следующей плоскости узлы расположены над центрами треугольников, образованных узлами предыдущей плоскости (кружки и крестики на рис. 57).

7. Кубическая система соответствует точечной группе это есть симметрия куба. К этой системе относятся три типа решеток Бравэ: простая кубическая , объемноцентрированная и гранецентрированная .

В последовательности систем триклинной, моноклинной, ромбической, тетрагональной и кубической каждая обладает большей симметрией, чем все предыдущие.

Другими словами, каждая следующая из них содержит в себе все элементы симметрии, содержащиеся в предыдущих. Ромбоэдрическая система обладает в том же смысле симметрией более высокой, чем моноклинная, и в то же время более низкой, чем симметрия кубической и гексагональной систем: ее элементы симметрии содержатся и в той и в другой. Наиболее симметричными являются именно эти две последние системы.

Укажем еще на следующее обстоятельство. На первый взгляд могло бы показаться, что возможны еще некоторые типы решеток Бравэ, кроме перечисленных четырнадцати.

Рис. 58.

Рис. 59.

Так, если к простой тетрагональной решетке присоединить еще по узлу в центрах противоположных квадратных оснований призм, то решетка имела бы при этом по-прежнему тетрагональную симметрию. Легко, однако, видеть, что мы при этом не получили бы новой решетки Бравэ. Действительно, соединив узлы такой решетки указанным на рис. 58 (пунктирными линиями) способом, мы увидим, что новая решетка является по-прежнему простой тетрагональной. Легко убедиться, что то же самое имеет место и во всех других подобных случаях.

Параллелепипеды решетки Бравэ, изображенные на рис. 56, сами по себе обладают всеми элементами симметрии той системы, к которой они относятся. Необходимо, однако, иметь в виду, что во всех случаях, за исключением только простых решеток Бравэ, эти параллелепипеды не являются элементарными ячейками: периоды, на которых они построены, не являются основными. В качестве основных периодов в гранецентрированных решетках Бравэ можно выбрать векторы из какой-нибудь вершины параллелепипеда к центрам граней; в объемноцентрированной — из вершины в центры параллелепипедов и т.п. На рис. 59 изображены элементарные ячейки для кубических решеток эти ячейки представляют собой ромбоэдры и отнюдь не обладают сами по себе всеми элементами симметрии кубической системы.

Очевидно, что объем гранецентрированного параллелепипеда Бравэ в 4 раза больше объема элементарной ячейки: объемы же объемноцентрированного параллелепипеда и параллелепипеда с центрированными основаниями равны удвоенным объемам элементарной ячейки:

Для того чтобы полностью определить триклинную решетку Бравэ, необходимо указать шесть величин: длины ребер ее параллелепипедов и углы между ними; в моноклинной достаточно уже четырех величин, так как два из углов между ребрами всегда прямые, и т. д. Аналогичным образом легко найти, что решетки Бравэ различных систем определяются следующим числом величин (длин ребер параллелепипедов или углов между ними):