§ 54. Распределение Бозе

Перейдем теперь к изучению статистики, которой подчиняется идеальный газ, состоящий из частиц, описывающихся симметричными волновыми функциями, так называемой статистики Бозе (или статистики Бозе—Эйнштейна).

Числа заполнения квантовых состояний при симметричных волновых функциях ничем не ограничены и могут иметь произвольные значения. Вывод функции распределения может быть сделан так же, как в предыдущем параграфе; пишем:

Стоящая здесь геометрическая прогрессия сходится, только если Так как это условие должно иметь место для всех (в том числе и для ), ясно, что во всяком случае должно быть

Напомним в этой связи, что для больцмановского газа химический потенциал всегда имеет отрицательные (большие по абсолютной величине) значения, а для ферми-газа может быть как отрицательным, так и положительным.

Суммируя геометрическую прогрессию, получим

Отсюда находим средние числа заполнения ,

Это и есть функция распределения идеального газа, подчиняющегося статистике Бозе (или, как говорят для краткости, бозе-газа). Она отличается от функции распределения Ферми знаком перед 1 в знаменателе. Как и последняя, при она переходит, естественно, в функцию распределения Больцмана. Полное число частиц в газе выражается формулой

а термодинамический потенциал газа в целом получается суммированием по всем квантовым состояниям: