§ 134. Неприводимые представления пространственных групп

Физические применения теории симметрии обычно связаны с использованием математического аппарата так называемых представлений групп. В этом параграфе мы остановимся на вопросе о классификации и методе построения неприводимых представлений пространственных групп.

Предварительно снова подытожим, в более математических терминах, изложенные в предыдущих параграфах сведения о структуре пространственных групп.

Каждая пространственная группа содержит подгруппу трансляций, заключающую в себе бесконечное множество всех возможных параллельных переносов, совмещающих решетку саму с собой; эта подгруппа и представляет собой с математической точки зрения то, что называется решеткой Бравэ кристалла. Полная пространственная группа получается из этой подгруппы добавлением элементов симметрии, содержащих вращения и отражения, где — число преобразований симметрии соответствующего кристаллического класса; эти элементы будем называть поворотными.

Всякий элемент пространственной группы можно представить как произведение одной из трансляций на один из поворотных элементов.

Если пространственная группа не содержит винтовых осей и плоскостей скольжения (симморфная группа), то в качестве поворотных элементов можно выбрать просто преобразований симметрии — вращений и отражений кристаллического класса. В несимморфных же группах поворотные элементы представляют собой вращения и отражения с одновременным переносом на определенную долю одного из основных периодов решетки.

Для ясной характеристики элементов пространственной группы удобно обозначать их символами , где Р — какое-либо вращение или отражение, a - вектор одновременной трансляции; при воздействии на радиус-вектор какой-либо точки: Перемножение элементов происходит по очевидному правилу

(134,1)

Элемент, обратный элементу есть

(134,2)

при умножении на он дает единичный элемент группы (где Е — символ тождественного поворотного преобразования).

В частности, чистые трансляции изображаются символом , где а — какой-либо из периодов решетки. Поворотные элементы в симморфных группах, выбранные указанным выше образом, являются элементами вида . В несимморфных же группах поворотные элементы имеют вид , где — доля периода решетки, на которую происходит перенос в винтовой оси или плоскости скольжения. В первом случае совокупность поворотных преобразований сама образует подгруппу пространственной группы. Во втором же случае элементы сами по себе не образуют подгруппы, поскольку повторное их применение приводит не к тождественному преобразованию, а к трансляции на один из основных периодов решетки. Вращения же и отражения Р как таковые (т. е. если не различать простые и винтовые оси, простые плоскости симметрии и плоскости скольжения) всегда составляют группу точечную группу симметрии, определяющую кристаллический класс; эту точечную группу удобно называть в данном аспекте группой направлений решетки.

Обратимся к построению неприводимых представлений пространственных групп 2).

Всякое такое представление может быть осуществлено набором функций вида

(134,3)

где к — постоянные волновые векторы, — функции, инвариантные относительно трансляций; индекс нумерует функции с одинаковыми к. В результате параллельного переноса (где а — какой-либо период решетки), функции (134,3) умножаются на постоянные Другими словами, в осуществляемом функциями (134,3) представлении матрицы трансляций диагональны. Очевидно, что два вектора к, отличающиеся на какой-либо период обратной решетки b, приводят к одинаковому закону преобразования функций при трансляциях: поскольку — целое кратное от , то . Такие векторы к мы будем называть эквивалентными. Если представлять себе векторы к проведенными из вершины ячейки обратной решетки в различные ее точки, то все неэквивалентные векторы исчерпываются одной элементарной ячейкой.

При воздействии же поворотного элемента симметрии функция преобразуется в линейную комбинацию функций с различными а и вектором к, получающимся из к посредством данного вращения или отражения, произведенного в обратной решетке: Совокупность всех (неэквивалентных) векторов к, получающихся друг из друга при воздействии всех поворотных элементов группы, называют звездой волнового вектора k. В общем случае произвольного к его звезда содержит векторов (лучей). В число функций базиса неприводимого представления должны во всяком случае войти функции со всеми лучами звезды поскольку функции с неэквивалентными к умножаются при трансляциях на различные множители, то никаким выбором их линейных комбинаций нельзя добиться уменьшения числа преобразующихся друг через друга функций.

При определенных значениях к число лучей в его звезде может оказаться меньшим чем , так как может оказаться, что некоторые из поворотных элементов симметрии не меняют к или превращают его в эквивалентный. Так, если вектор к направлен вдоль оси симметрии, то он не меняется при поворотах вокруг этой оси; вектор к, проведенный из вершины в центр элементарной ячейки , где b — один из основных периодов обратной решетки), при инверсии превращается в эквивалентный ему вектор — .

Совокупность поворотных элементов симметрии (рассматриваемых все как простые вращения или отражения Р), входящих в данную пространственную группу и не меняющих вектора к (или превращающих его в эквивалентный), называют группой собственной симметрии вектора к или просто группой волнового вектора; она представляет собой одну из обычных точечных групп симметрии.

Рассмотрим сначала простейший случай симморфных пространственных групп. Функции базиса неприводимого представления такой группы могут быть представлены в виде произведений

(134,4)

где функции инвариантны относительно трансляций, а линейные комбинации выражений (с эквивалентными к), инвариантные относительно преобразований группы собственной симметрии вектора к; вектор к в (134,4) пробегает все значения своей звезды. При трансляциях функции не меняются, а функции (а с ними и ) умножаются на При вращениях и отражениях, входящих в группу к, не меняются функции , а функции преобразуются друг через друга. Другими словами, функции осуществляют какое-либо из неприводимых представлений точечной группы (о которых говорят в этой связи как о малых представлениях). Наконец, поворотные элементы, не входящие в группу к, преобразуют друг через друга наборы функций (134,4) с неэквивалентными к. Размерность построенного таким образом представления пространственной группы равна произведению числа лучей в звезде к на размерность малого представления.

Таким образом, задача о нахождении всех неприводимых представлений симморфных пространственных групп полностью сводится к классификации векторов к по их собственной симметрии и к известной задаче об отыскании неприводимых представлений конечных точечных групп.

Обратимся теперь к пространственным группам с винтовыми осями или плоскостями скольжения.

Наличие таких элементов симметрии все еще остается несущественным, если волновой вектор к при всех преобразованиях из его группы вообще не меняется (т. е. не переходит в эквивалентный). В таких случаях соответствующие неприводимые представления по-прежнему осуществляются функциями вида (134,4), в которых образуют базис представления точечной группы вектора k. Единственное отличие от случая симморфных групп будет состоять в том, что при поворотных преобразованиях функции в (134,4) не остаются неизменными, а умножаются на .

Функции вида (134,4) становятся, однако, непригодными, если существует несколько эквивалентных векторов к, переходящих друг в друга при преобразованиях группы их собственной симметрии. При поворотном преобразовании, связанном с одновременным переносом t, функции с эквивалентными, но все же различными значениями k умножаются на различные множители (поскольку — не целое число); поэтому их линейные комбинации не будут преобразовываться через самих себя.

В таких случаях раздельное рассмотрение поворотных элементов и трансляций уже невозможно. Однако из бесконечного множества трансляций достаточно включить в рассмотрение лишь конечное их число. Эти случаи возникают для векторов к, проведенных из вершины элементарной ячейки обратной решетки в некоторые выделенные точки внутри ячейки; координаты (все три, или некоторые из них) этих точек выражаются простыми рациональными частями основных периодов . Назовем расширенной группой волнового вектора группу, составленную из поворотных элементов (вместе со связанными с ними трансляциями на доли периодов ) и из всех тех трансляций, для которых — рациональная дробь (меньшая 1); остальные же трансляции рассматриваются по-прежнему как тождественные преобразования. Функции осуществляющие неприводимые представления составленной таким образом конечной группы (малые представления), вместе с такими же функциями других лучей из данной звезды к, осуществляют неприводимое представление пространственной группы. Отметим, что размерность малых представлений в этих группах достигает шести (в группах кристаллического класса О.

Продемонстрируем этот способ на конкретном примере. Рассмотрим пространственную группу относящуюся к простой ромбической решетке Бравэ и содержащую следующие поворотные элементы:

где оси направлены вдоль трех основных периодов решетки, (оси симметрии простые, а перпендикулярные им плоскости а — плоскости скольжения). Выберем например, вектор

(134,5)

где числа в скобках дают значения составляющих вектора по осям обратной решетки, измеренные в единицах длин ребер ее ячейки. Собственная симметрия этого волнового вектора содержит все оси и плоскости точечной группы так что этот вектор сам по себе составляет звезду. Расширенная группа получается добавлением трансляции (), для которой . В результате получим группу из 16 элементов, распределенных по 10 классам, как показано в верхнем ряду табл. 2. В сопряженности (т. е. принадлежности к одному классу), например, элементов можно убедиться следующим образом. Имеем

Но

а поскольку трансляции на и на должны рассматриваться как тождественное преобразование, то

По числу элементов и числу классов в группе находим, что она имеет 8 одномерных и 2 двумерных неприводимых представлений . Все одномерные представления получаются из представлений точечной группы причем трансляции

Таблица 2

приписывается характер 1. Эти представления, однако, возникают здесь как «паразитные» и должны быть отброшены. Они не соответствуют поставленному вопросу: функции их базиса инвариантны по отношению ко всем трансляциям, между тем как функция с данным к заведомо не инвариантна по отношению к трансляции Таким образом, остаются всего два неприводимых представления, характеры которых указаны в табл. 2. Функции базиса этих представлений могут быть выбраны в виде

(координаты х, у, z измеряются в единицах длин соответствующих периодов ).

Рассмотрим еще представления, отвечающие звезде двух векторов

(134,6)

с собственной симметрией — вдоль оси ); здесь и произвольное число между 0 и 1 (кроме 1/2). Расширенная группа к содержит восемь элементов, распределенных по пяти классам (табл. 3). (Зависимость от функций базиса представлений этой группы сводится к общему множителю ) или инвариантному относительно всех преобразований группы; поэтому расширять группу трансляциями вдоль оси не надо). Имеется четыре одномерных и одно двумерное неприводимые представления этой группы. Одномерные представления должны быть отброшены по той же причине, что и в предыдущем случае, так что остается всего одно представление, характеры которого даны в табл. 3.

Функции его базиса могут быть выбраны в виде

со знаком плюс или минус в показателе, соответственно для первого и второго из векторов (134,6); полное неприводимое представление всей пространственной группы четырехмерно и осуществляется набором всех этих четырех функций.

Таблица 3