§ 149. Масштабная инвариантность

Соотношения (148,13-17) не связаны с какими-либо предположениями о характере флуктуационной картины вблизи точки перехода. Дальнейшие заключения о критических индексах требуют уже определенных предположений на этот счет.

Заметим, что в теорию входят, вообще говоря, два характерных размера, определяющих пространственное распределение флуктуаций, - корреляционный радиус и размер участка тела, в котором средняя квадратичная флуктуация параметра порядка сравнивается с его характерным равновесным значением.

Неравенство (146,14), обеспечивающее применимость теории Ландау, можно записать как (действительно, согласно (146,13) и (146,11) имеем в объеме и, приравняв это величине найдем сравнение с (146,12) приводит к условию (146,15)). При растет быстрее, чем и на границе области Ландау они сравниваются. Основное предположение о флуктуационной области (определяемой неравенством, обратным (146,15)) состоит в том, что в ней вообще отсутствует какой-либо малый параметр в теории. В частности, должно оставаться везде так что оказывается единственным размером, характеризующим флуктуации. Это предположение называют гипотезой масштабной инвариантности (L. Kadatioff, 1966; А. 3. Паташинский, В. Л. Покровский, 1966).

Для оценки флуктуаций в объеме можно пользоваться формулой (146,2). Подставив в условие

(149,1)

объем и выразив затем все величины через степени t согласно определениям критических индексов, получим равенство или, с учетом (148,13),

(149,2)

Присоединив это соотношение к полученным в § 148, мы можем выразить все критические индексы уже всего через два независимых 3).

Требование масштабной инвариантности позволяет получить единообразным образом все вообще соотношения между критическими индексами. Для этого прежде всего дадим более формальное определение этого требования.

Пусть масштаб всех пространственных расстояний меняется в одинаковое число раз: с некоторым постоянным и. Тогда масштабная инвариантность состоит в утверждении, что можно так изменить масштабы измерения величин , чтобы все соотношения теории остались неизменными.

Другими словами, можно таким образом выбрать показатели (так называемые масштабные размерности) в преобразованиях

(149,3)

чтобы из всех соотношений множители и выпали.

Изменение пространственного масштаба должно, в частности, приводить к такому же изменению корреляционного радиуса флуктуаций тем самым будет обеспечена инвариантность асимптотического выражения корреляционной функции . Согласно определениям (148,6) и (148,11) при корреляционный радиус , а при Произведя преобразование (149,3) и потребовав, чтобы коэффициенты в этих выражениях остались неизменными, получим

(149,4)

Далее рассмотрим изменение термодинамического потенциала при бесконечно малом изменении поля h. Согласно (144,2) имеем

(при и, как всегда, ). При масштабном преобразовании объем потребовав, чтобы выражение осталось прежним, т. е.

получим

(149,5)

Таким образом, размерности выражены через два критических индекса и v. Требование масштабной инвариантности дальнейших соотношений приводит уже к выражению остальных критических индексов через эти два.

Потребуем инвариантности «уравнения состояния» системы, т. е. выражения параметра порядка через температуру и поле: Это значит, что должно быть

Решение этого функционального уравнения имеет вид

(149,6)

Аналогичные соображения можно применить и к термодинамическому потенциалу (точнее к его сингулярной части, которая и подразумевается ниже под Ф).

Будучи аддитивной величиной, полный термодинамический потенциал тела пропорционален его объему. Поэтому требование его инвариантности при масштабном преобразовании записывается как

Отсюда

(149,7)

Функции f и в (149,6-7), конечно, связаны друг с другом, поскольку Выражения (149,6-7) написаны здесь для ввиду симметрии эффективного гамильтониана по отношению к замене формулы для получаются из написанных этой же заменой.

Произведем дальнейшие рассуждения на основании формулы (149,7). Как уже отмечалось в связи с (148,18), при заданном отличном от нуля h термодинамические функции не имеют особенности по t и потому должны быть разложимы по целым степеням этой переменной. Это значит, что при функция в (149,7) разлагается в ряд по целым степеням малой переменной . Первые члены этого разложения дают

(149,8)

где — постоянные коэффициенты. Потребовав теперь, чтобы параметр порядка и теплоемкость, вычисленные как

вели себя при по законам (отвечающим случаю сильного поля), получим два соотношения между критическими индексами:

легко проверить, что они действительно следуют из уже известных нам соотношений, полученных ранее другим способом.

Пусть теперь t имеет отличное от нуля значение; тогда термодинамические величины не имеют особенности при прохождении нулевого значения переменной h, и потому функция разложима по целым степеням h.

Это значит, что при разложение функции по малой переменной должно иметь вид

множитель компенсирует нецелую степень а переменная разложения Разложение, однако, различно при и при При потенциал содержит только четные степени h, поскольку производная должна быть (в симметричной фазе) нечетной функцией

(149,9)

При теплоемкость должна вести себя по закону а параметр порядка — по закону (отвечающим случаю слабого поля); легко убедиться, что получающиеся отсюда соотношения тоже эквивалентны уже известным. Если же температура то разложение при содержит все целые степени

(149,10)

(с другими, конечно, коэффициентами ). Легко проверить, что для параметра спонтанного (не зависящего от К) порядка получается требуемый закон

О преобразовании корреляционного радиуса шла речь выше. Осталось рассмотреть корреляционную функцию флуктуаций параметра при и потребовать масштабной инвариантности выражения

При этом следует считать, что флуктуирующие величины в разных точках пространства преобразуются независимо таким же образом, как и среднее значение .

Тогда корреляционная функция преобразуется как и мы получим условие

(149,11)

И это равенство является следствием уже известных.

Остановимся в заключение на численных значениях критических показателей. Экспериментальные данные и результаты численных расчетов свидетельствуют о том, что (в трехмерном случае) индексы довольно малы: . В первой строке следующей ниже таблицы даны значения остальных индексов, получающиеся, если положить Во второй строке приведены значения, получающиеся, если принять для их оценку по упомянутому в § 147 методу Вильсона (для переходов, описывающихся эффективным гамильтонианом (147,6) с одним параметром порядка):

(149,12)