§ 155. Поверхностное натяжение кристаллов

Поверхностное натяжение анизотропного тела кристалла различно для различных его граней; можно сказать, что оно является функцией от направления грани (т. е. ее индексов Миллера). Эта функция имеет довольно своеобразный характер.

С одной стороны, разность значений а для двух кристаллических плоскостей со сколь угодно близкими направлениями тоже сколь угодно мала, т. е. поверхностное натяжение может быть представлено в виде непрерывной функции направления грани. С другой стороны, однако, можно показать, что эта функция ни в одной точке не имеет определенной производной. Так, рассматривая семейство кристаллических плоскостей, пересекающихся вдоль одной прямой (пусть — угол поворота вокруг этой прямой, определяющий направление плоскости), мы обнаружим, что функция имеет для каждого значения две различные производные в направлении увеличения и в направлении уменьшения ее аргумента .

Предположим, что нам известно поверхностное натяжение как функция направления граней. Возникает вопрос, как с помощью этой функции определить равновесную форму (огранку) кристалла; подчеркнем, что наблюдаемая в обычных условиях огранка определяется условиями роста кристалла и отнюдь не является равновесной. Равновесная форма определяется условием минимальности потенциала (при заданных и объеме V кристалла), или, что то же, условием минимальности его поверхностной части. Последняя равна

где интеграл берется по всей поверхности кристалла (для изотропного тела и равновесная форма определяется просто условием минимальности полной площади §, т. е. является сферой).

Пусть - уравнение поверхности кристалла, и введем обозначения

для производных, определяющих направление поверхности в каждой ее точке; а может быть выражено в виде их функции . Равновесная форма определится условием

(155,1)

при дополнительном условии

(155,2)

(постоянство объема).

Эта вариационная задача приводит к дифференциальному уравнению

где введено обозначение

(155,4)

а — постоянная.

Далее имеем по определению вводя вспомогательную функцию

(155,5)

имеем для нее или

причем рассматривается здесь как функция от . Переписав производные по и у в (155,3) в виде якобианов, умножив обе стороны равенства на и воспользовавшись (155,6), получим уравнение

Это уравнение имеет интеграл

или

Но это есть не что иное, как уравнение огибающей поверхности семейства плоскостей

(155,8)

(где играют роль параметров).

Полученный результат может быть сформулирован в виде следующего геометрического построения. На каждом радиусе-векторе, проведенном из начала координат, откладываем отрезок, длина которого пропорциональна , где определяют направление радиуса-вектора. Через концы отрезков проводятся перпендикулярные к ним плоскости; огибающая этих плоскостей и дает равновесную форму кристалла (Г. В. Вульф).

Можно показать (см. цитированную на стр. 565 статью), что своеобразный характер функции а, упомянутый в начале параграфа, может привести к тому, что определяемая этим правилом равновесная форма кристалла будет содержать ряд плоских участков, соответствующих кристаллическим плоскостям с небольшими значениями Миллера. Величина плоских участков быстро уменьшается с увеличением индексов Миллера. Практически это должно привести к тому, что равновесная форма будет состоять из небольшого числа плоских участков, которые, однако, не пересекаются под углами, а соединены закругленными участками.