§ 126. Операторное выражение обобщенной восприимчивости
Флуктуационно-диссипационную теорему можно рассматривать также и в обратном аспекте, прочтя равенство (124,9) справа налево и записав 
в явном виде как фурье-компоненту корреляционной функции:
(126,1)
В таком виде эта формула дает принципиальную возможность вычисления функции 
по микроскопическим свойствам системы. Недостаток ее состоит, однако, в том, что ею прямо определяется лишь мнимая часть, а не вся функция 
. Можно получить аналогичную формулу, лишенную этого недостатка. Для этого произведем прямое квантовомеханическое вычисление среднего значения 
в возмущенной системе (с оператором возмущения (124.5)).
Пусть 
— волновые функции невозмущенной системы. Следуя общему методу (см. III, § 40), ищем волновые функции возмущенной системы в первом приближении в виде
(126,2)
где коэффициенты 
удовлетворяют уравнениям
При решении этого уравнения следует считать, что возмущение «адиабатически» включается к моменту времени t от времени 
(ср. III, § 43); это значит, что в множителях 
надо заменить 
(где символ 
означает 
при 
Тогда
(126,3)
С помощью полученной таким образом функции вычисляем среднее значение величины 
как соответствующий диагональный матричный элемент оператора 
. В том же приближении имеем
Сравнив этот результат с определением (123,9), найдем,
(126,4)
Вещественная и мнимая части в этом выражении разделяются с помощью формулы
(см. III, (43,10)). Для 
мы вернемся, разумеется, к прежнему результату (124,8).
Легко видеть, что выражение (126,4) представляет собой фурье-образ функции
(как и в случае корреляционной функции, это среднее значение зависит, конечно, только от разности моментов времени, в которые берутся два оператора 
). Действительно, вычисляя функцию (126,6) как диагональный матричный элемент по отношению к 
стационарному состоянию системы (невозмущенной), имеем при 
где переход к не зависящим от времени матричным элементам произведен по обычному правилу:
Поскольку функция 
отлична от нуля только при 
ее фурье-образ вычисляется по формуле
и совпадает с (126,4).
Таким образом, приходим окончательно к следующему результату:
(126,8)
(R. Kubo, 1956). Будучи справедливой при усреднении по всякому заданному стационарному состоянию системы, эта формула остается тем самым без изменений и после усреднения по распределению Гиббса.
Для обобщенных восприимчивостей 
, определяющих отклик системы на возмущение, затрагивающее несколько величин 
аналогичная формула гласит:
Задача
Определить асимптотическое поведение 
при 
(полагая, что 
).
Решение. При 
в (126,8) существенны малые значения t. Полагая 
, находим
(одинаковый аргумент 
в операторах опускаем). Интеграл вычисляется дифференцированием (126,7) по со и дает
эта формула справедлива, если стоящее в ней среднее значение коммутатора отлично от нуля.
Будучи четной функцией а, выражение (1) вещественно, 
что является асимптотикой функции 
. С другой стороны, из (123,15) имеем при 
(здесь учтена нечетность функции 
). Сравнив это выражение с (1), найдем следующее «правило сумм» для 
:
