Главная > Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика.
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 141. Флуктуации в жидких кристаллах

Рассмотрим флуктуации, испытываемые направлением директора в нематическом жидком кристалле (P. G. de Gennes, 1968).

Представим в виде , где — постоянное вдоль всего объема равновесное направление, — флуктуационное отклонение от этого значения. Поскольку то , т. е. вектор v перпендикулярен к Соответственно этому корреляционная функция флуктуаций

(141,1)

представляет собой двумерный тензор в плоскости, перпендикулярной к — векторные индексы в этой плоскости). В однородной, но анизотропной жидкости эта функция зависит не только от величины, но и от направления вектора

Сильное влияние на флуктуации директора оказывает магнитное поле. Этот эффект связан с появлением в плотности свободной энергии жидкого кристалла дополнительного члена вида

(141,2)

зависящего от самого вектора , а не от его производных, как в (140,2). Если , то равновесное направление совпадает с направлением поля, а если , то оно лежит в плоскости, перпендикулярной к полю. Будем считать для определенности, что так что . Тогда ; опустив не зависящий от v член, пишем:

(141,3)

Взяв F из (140,2) и (141,3) и сохранив лишь величины второго порядка по V, получим следующее выражение для изменения полной свободной энергии при флуктуации:

(141,4)

(ось x выбрана в направлении ). Подчеркнем, что, используя выражение (140,2) для энергии деформированного кристалла, мы тем самым ограничиваемся рассмотрением флуктуаций с большими (по сравнению с молекулярными размерами) длинами волн.

Далее поступаем подобно тому, как это уже делалось в § 116. Представляем флуктуирующую величину в виде ряда Фурье в объеме V:

(141,5)

После подстановки этого ряда выражение (141,4) разобьется на сумму членов каждый из которых зависит только от компоненты с определенным значением к. Выбрав плоскость так, чтобы она проходила через направление ), получим

Отсюда § 116) находим для средних квадратов флуктуаций

Мы видим, что в отсутствие поля флуктуации фурье-компонент неограниченно возрастают при (интегралы же по определяющие средний квадрат самого вектора v, остаются конечными). Наложение магнитного поля подавляет флуктуации с волновыми векторами (где а — порядок величины коэффициентов ).

Корреляционная функция (141,1) может быть вычислена из (141,6) по формуле

(141,7)

(ср. (116,13)). Мы не станем приводить довольно громоздкий результат интегрирования. Укажем лишь, что в отсутствие поля корреляционная функция убывает с расстоянием как . При наличии же поля убывание становится экспоненциальным, с корреляционным радиусом .

Аналогичным образом могут быть рассмотрены флуктуации направления директора в холестерическом жидком кристалле, мы ограничимся лишь краткими замечаниями по этому поводу.

В холестерической среде можно различать флуктуации местного направления оси геликоидальной структуры и флуктуации фазы угла поворота вектора вокруг этой оси. Флуктуации первого из этих типов конечны. Средний же квадрат флуктуации фазы оказывается (в отсутствие магнитного поля) логарифмически расходящимся при к . В этом отношении флуктуации в среде с одномерной периодичностью ориентационной структуры оказываются аналогичными флуктуациями в среде с одномерной периодичностью расположения частиц (§ 137). Строго говоря, такая периодичность оказывается тем самым невозможной в среде сколь угодно большого протяжения. Однако ввиду большой величины периода геликоидальной структуры в холестерических жидких кристаллах расходимость флуктуаций наступила бы лишь при столь огромных размерах, что весь вопрос становится чисто абстрактным.

Скажем несколько слов о флуктуациях в смектических жидких кристаллах, состоящих из правильно расположенных плоских слоев. Как уже было отмечено в § 139, такая структура размывается тепловыми флуктуациями и потому может осуществляться лишь в ограниченных объемах. Интересно, однако, что эти флуктуации подавляются магнитным полем. Поясним происхождение этого эффекта.

В каждом слое молекулы ориентированы упорядоченным образом с преимущественным направлением, задаваемым директором ; пусть это направление нормально к поверхности слоя.

При флуктуации происходит деформирование поверхности слоев и поворот директора; пусть вектор смещения точек слоя, a - снова изменение директора При длинноволновых деформациях слой можно рассматривать как геометрическую поверхность, и тогда малые величины v и и связаны друг с другом соотношением (изменение направления нормали к поверхности); для их фурье-компонент имеем: , где — составляющая к в плоскости слоя. При наличии магнитного поля изменение направления директора вносит в дополнительный вклад (141,3), пропорциональный . В свою очередь это приведет к тому, что в интеграле (137,9), определяющем средний квадрат флуктуационного смещения, в знаменателе подынтегрального выражения появится (наряду с членом ) еще и член в результате расходимость интеграла исчезнет.

Наконец, остановимся на вопросе о принципиальной возможности существования жидкокристаллических двумерных систем (пленок). В такой системе ориентация молекул задается директором , лежащим в плоскости пленки. Если рассмотреть его флуктуации (с волновыми векторами к, лежащими в плоскости пленки), то для них получится выражение, аналогичное (141,6): при отсутствии поля , где — квадратичная функция компонент вектора k. Но для нахождения полной флуктуации это выражение должно быть теперь проинтегрировано по и интеграл логарифмически расходится. Таким образом, тепловые флуктуаций размывают жидкокристаллическую двумерную структуру. Как и в случае твердокристаллической двумерной структуры (§ 137), однако, логарифмический характер расходимости не исключает возможности существования такой структуры в участках конечного размера.

1
Оглавление
email@scask.ru