§ 140. Нематические и холестерические жидкие кристаллы

Ориентационная симметрия нематических жидких кристаллов является одноосной: в каждой точке жидкости существуют всего одно выделенное направление ориентации молекул, — направление оси аксиальной симметрии. Поэтому макроскопическое состояние такого тела можно описать заданием в каждой его точке одного единичного вектора , определяющего указанное направление; этот вектор называют директором. В полностью равновесном состоянии тело однородно, т. е. . Неоднородные же распределения описывают различные деформированные состояния жидкого кристалла.

При макроскопической деформации медленно меняется вдоль тела (характерные размеры деформации велики по сравнению с молекулярными размерами). Поэтому производные функции по координатам являются малыми величинами, тем более высокого порядка малости, чем выше порядок производной. Представив полную свободную энергию деформированного жидкого кристалла (при заданной температуре) в виде интеграла разложим плотность свободной энергии F по степеням производных функций (С. W. Oseen, 1933; F. С. Frank, 1958).

Разложение скалярной величины F может содержать лишь скалярные же комбинации компонент вектора и его производных. Существует всего две скалярные комбинации, линейные по первым производным: истинный скаляр и псевдоскаляр . Из них первый при интегрировании по объему преобразуется в интеграл по поверхности тела и, таким образом, несуществен при рассмотрении объемных свойств вещества.

Истинные скаляры, квадратичные по первым производным, можно получить, написав тензор четвертого ранга

и образуя из него инварианты путем сворачивания по парам индексов или умножением на компоненты вектора . При этом надо учесть, что вектор единичный, и поэтому

Таким путем найдем инварианты

Но два последних отличаются друг от друга лишь дивергенцией:

так что их вклады в полную свободную энергию отличаются лишь не интересующим нас интегралом по поверхности тела (J. L. Ericksen, 1962). Инвариант же

так что в качестве независимого можно выбрать Наконец, можно построить квадратичный по первым производным псевдоскаляр: .

К величинам того же порядка малости относятся скаляры, линейные по вторым производным; все такие величины, однако, путем интегрирования по частям сводятся к членам, квадратичным по первым производным.

Таким образом, мы приходим к следующему выражению для плотности свободной энергии жидкого кристалла:

(140,1)

где — постоянные (функции температуры).

Как уже было указано в предыдущем параграфе, во всех известных жидких кристаллах рассматриваемых категорий направления эквивалентны; для соблюдения этого требования надо положить Далее, если среди элементов симметрии кристалла есть плоскости, то должно быть Действительно, поскольку — псевдоскаляр, а свободная энергия — истинный скаляр, то псевдоскаляром должен быть и коэффициент b. Но среда, имеющая плоскости симметрии, не может характеризоваться псевдоскалярными величинами, так как отражение в плоскости привело бы к равенству b. Таким образом, свободная энергия нематического жидкого кристалла:

(140,2)

Все три коэффициента должны быть положительными. Тогда равновесному состоянию отвечает .

Если же жидкий кристалл не имеет плоскостей симметрии, то . Перепишем тогда (140,1) (с в виде

(140,3)

где включена в . Равновесному состоянию такого вещества отвечает распределение направлений директора, для которого

Эти уравнения имеют решение

(140,4)

Эту структуру (отвечающую холестерическим жидким кристаллам) можно представить себе как результат равномерного закручивания вокруг оси нематической среды, первоначально ориентированной своими в одном направлении в плоскости .

Ориентационная симметрия холестерического кристалла оказывается периодической вдоль одного направления (ось ) в пространстве (так что корреляционная функция ). Вектор возвращается к прежнему значению через каждый интервал длины вдоль оси но поскольку направления физически эквивалентны, истинный период повторяемости структуры равен Об описанной таким образом структуре обычно говорят как о геликоидальной.

Разумеется, изложенная теория справедлива, лишь если период геликоидальной структуры велик по сравнению с молекулярными размерами. Это условие фактически выполняется в холестерических жидких кристаллах (период см).