§ 26. Вращающиеся тела

В состоянии теплового равновесия возможно, как мы видели в § 10, лишь равномерное поступательное движение и равномерное вращение тела как целого. Равномерное поступательное движение никакого особого рассмотрения не требует, так как согласно принципу относительности Галилея оно никак не сказывается на механических, а потому и термодинамических свойствах тела, и его термодинамические величины меняются лишь в том смысле, что к энергии добавляется кинетическая энергия тела.

Рассмотрим тело, равномерно вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью . Пусть есть энергия тела в неподвижной системе координат, а - энергия в системе координат, вращающейся вместе с телом. Как известно из механики, эти величины связаны друг с другом соотношением

где - момент импульса тела.

Таким образом, энергия зависит, как от параметра, от угловой скорости , причем

Усредняя это равенство по статистическому распределению и воспользовавшись формулой (11,3), получим

где - средние (термодинамические) энергия и момент импульса тела.

На основании этого соотношения мы можем написать дифференциал энергии вращающегося тела при заданном объеме в виде

Для свободной энергии (во вращающейся системе координат) соответственно имеем

Усредняя равенство (26,1), получим

Дифференцируя это равенство и подставляя (26,3), получим дифференциал энергии в неподвижной системе координат

Для свободной энергии соответственно имеем

Таким образом, в этих соотношениях независимой переменной является не угловая скорость, а момент импульса, причем

Как известно из механики, равномерное вращение в известном смысле эквивалентно появлению двух силовых полей: поля центробежных сил и поля кориолисовых сил. Центробежные силы пропорциональны размерам тела (они содержат расстояние до оси вращения); силы же Кориолиса от размеров тела не зависят вовсе. Благодаря этому обстоятельству влияние последних на термодинамические свойства вращающегося макроскопического тела совершенно ничтожно по сравнению с влиянием первых, и ими обычно можно полностью пренебречь. Поэтому условие теплового равновесия вращающегося тела получится просто подстановкой в (25,2) в качестве и центробежной энергии частиц:

(26,9)

где — химический потенциал покоящегося тела, - масса молекулы, — расстояние до оси вращения. По той же причине полную энергию вращающегося тела Е можно написать в виде суммы его внутренней энергии (которую мы обозначим здесь посредством ) и кинетической энергии вращения:

(26,10)

где - момент инерции тела относительно оси вращения. Надо иметь в виду, что вращение, вообще говоря, меняет распределение масс в теле, поэтому момент инерции и внутренняя энергия тела сами, вообще говоря, зависят от (или от М). Лишь при достаточно медленном вращении эти величины можно считать постоянными, не зависящими от .

Рассмотрим изолированное равномерно вращающееся твердое тело с заданным распределением масс в нем. Поскольку энтропия тела есть функция его внутренней энергии, то в данном случае

Вследствие замкнутости тела его полная энергия и момент вращения сохраняются, а энтропия должна иметь максимальное значение, возможное при данных М и Е. Поэтому мы приходим к выводу, что равновесное вращение тела происходит вокруг оси, относительно которой момент инерции имеет наибольшее возможное значение.

Тем самым автоматически подразумевается, что ось вращения во всяком случае является осью инерции тела. Последнее обстоятельство, впрочем, заранее очевидно: если тело вращается вокруг оси, не являющейся осью инерции, то, как известно из механики, ось вращения сама будет смещаться (прецессиро-вать) в пространстве, т. е. вращение будет неравномерным, а потому и неравновесным.