Задачи

1. Определить средний квадрат фурье-компонент (с малыми волновыми векторами: ) флуктуаций плотности в ферми-газе при

Решение. Подынтегральное выражение в (117,9) отлично от нуля (и равно единице) лишь в точках, в которых , т. е. в точках, принадлежащих сфере радиуса то же время не принадлежащих сфере того же радиуса с центром, сдвинутым на Вычисляя объем этой области при , получим

2. Определить корреляционную функцию для ферми-газа при температурах; низких по сравнению с температурой вырождения.

Решение. В интеграле в (117,8) полагаем и преобразуем его следующим образом:

Производим интегрирование по частям, после чего вводим новую переменную Ввиду малости Т подынтегральное выражение быстро убывает с ростом и потому интеграл по можно распространить от до

(где ). Получившийся интеграл подстановкой приводится к В-интегралу Эйлера, и в результате получается

Для расстояний усреднив быстро меняющийся квадрат косинуса, получаем окончательно

При эта формула переходит в (117,11). В асимптотической области, где велико не только по сравнению с 1, но и по сравнению с , имеем

3. Определить корреляционную функцию для бозе-газа на больших расстояниях () при температурах выше точки начала бозе-эйнштейновской конденсации, но близких к ней.

Решение. Вблизи точки химический потенциал мал (см. задачу к § 62). При этом интеграл в (117,7) (обозначим его ) определяется областью малых значений . Поэтому, разлагая подынтегральное выражение по и , находим

Окончательно

4. Определить корреляционную функцию бозе-газа при

Решение. При конечная доля числа частиц находится в состояниях с (конденсат). Возвращаясь к выражению (117,4) надо предварительно (до перехода от суммирования к интегрированию) выделить в нем члены с равным нулю или , учитывая при этом, что число частиц в каждом из квантовых состояний с После этого сумма преобразуется, как это было сделано в тексте, и в результате вместо (117,7) находим

причем пр дается формулой распределения Бозе с :

На расстояниях интеграл (формула из предыдущей задачи с , так что

вторым членом можно пренебречь, если только Т не слишком близко к (так что не слишком мало). В обратном случае, на расстояниях интеграл

так что

Отметим, что интеграл для бозе-газа при расходится, и потому вычисление по формуле (116,5) привело бы к бесконечному значению флуктуации числа частиц в соответствии с замечанием, сделанным уже в § 113.