§ 56. Ферми- и бозе-газы элементарных частиц

Рассмотрим газ, состоящий из элементарных частиц, или частиц, которые в даннйх условиях могут рассматриваться как элементарные. Как уже было в свое время указано, к обычным атомным или молекулярным газам распределения Ферми или Бозе вообще не приходится применять, так как эти газы фактически всегда с достаточной точностью описываются распределением Больцмана.

Все выводимые в этом параграфе формулы имеют совершенно аналогичный вид для обеих статистик Ферми и Бозе, отличаясь лишь одним знаком. Ниже везде верхний знак соответствует статистике Ферми, а нижний — статистике Бозе.

Энергия элементарной частицы сводится к кинетической энергии ее поступательного движения, которое всегда квазиклассично. Поэтому имеем

а в функции распределения переходим обычным образом к распределению по фазовому пространству частицы. При этом надо иметь в виду, что при данном значении импульса состояние частицы определяется также направлением ее спина. Поэтому число частиц в элементе фазового пространства получится умножением распределения (53,2) или (54,2) на

где - спин частицы, т. е. равно

Интегрируя по (что сводится к замене на полный объм V газа), получим распределение по компонентам импульса частиц, а переходя к сферическим координатам в пространстве импульсов и интегрируя по углам, найдем распределение по абсолютной величине импульса

или распределение по энергии

Эти формулы заменяют классическое распределение Максвелла. Интегрируя (56,4) по , получим полное число частиц в газе

Вводя новую переменную интегрирования перепишем это равенство в виде

Эта формула определяет в неявном виде химический потенциал газа как функцию от температуры Т и плотности

Совершая такой же переход от суммирования к интегрированию в формулах (53,4), (54,4), получим следующее выражение для потенциала :

Интегрируя по частям, находим

Это выражение совпадает с точностью до множителя —2/3 с полной энергией газа, равной

Имея также в виду, что , получаем, таким образом, следующее соотношение:

Будучи точным, это соотношение должно выполняться и в предельном случае больцмановского газа; действительно, подставляя больцмановское значение получим уравнение Клапейрона.

Из формулы (56,6), сделав подстановку найдем, что

где - функция от одного аргумента, т. е. есть однородная функция и Т порядка 5/2. Поэтому

— однородные функции и Т порядка 3/2, а их отношение однородная функция нулевого порядка:

Отсюда видно, что при адиабатическом процессе остается постоянным отношение , а поскольку тоже есть функция только от , то и

(56,10)

Тогда из (56,9) следует, что

(56,11)

а также и . Эти равенства совпадают с уравнением адиабаты Пуассона (43,9) для обычного одноатомного газа. Подчеркнем, однако, что показатели степени в формулах (56,10-11) не связаны теперь с отношением теплоемкостей (поскольку несправедливы соотношения

Формула (56,6), переписанная в виде

вместе с формулой (56,5) определяют в параметрическом виде (параметром является ) уравнение состояния газа, т. е. связь между Р, V и Т. В предельном случае больцмановского газа (чему соответствует из этих формул получается, как и должно было быть, уравнение Клапейрона. Покажем это, вычислив одновременно также и первый поправочный член разложения в уравнении состояния.

При разлагаем подынтегральное выражение в (56,12) в ряд по степеням и получаем, сохраняя два первых члена разложения,

Подставляя это в (56,12), имеем

Если сохранить лишь первый член разложения, то получим в точности больцмановское значение химического потенциала одноатомного газа (формула (46,1а)). Следующий же член дает искомую поправку, так что можно написать:

(56,13)

Но малые добавки ко всем термодинамическим потенциалам (выраженные через соответствующие переменные, см. (24,16)), одинаковы.

Поэтому, выразив поправку в Q через Т и V (что можно сделать с той же точностью с помощью больцмановских выражений), мы получим поправку к свободной энергии:

(56.14)

Наконец, дифференцируя по объему, получим искомое уравнение состояния

(56,15)

Условие малости поправочного члена в этой формуле совпадает, естественно, с условием (45,6) применимости статистики Больцмана. Таким образом, отклонения свойств идеального газа от классических, возникающие при понижении температуры при заданной плотности (как говорят, при начинающемся его вырождении), ведут в статистике Ферми к увеличению давления по сравнению с его значением в обычном газе; можно сказать, что квантовомеханические обменные эффекты приводят в этом случае к появлению некоторого дополнительного эффективного отталкивания между частицами.

В статистике же Бозе величина давления газа отклоняется в обратную сторону — в сторону уменьшения по сравнению с классическим значением; можно сказать, что здесь появляется некоторое эффективное притяжение между частицами.