§ 70. Плотность числа колебаний

Число колебаний, приходящихся на интервал значений компонент волнового вектора, будучи отнесено к единице объема кристалла, равно . Характеристикой спектра колебаний конкретной решетки является функция распределения колебаний по частотам , определяющая числом колебаний, частоты которых лежат в заданном интервале между и . Это число, разумеется, различно для разных ветвей спектра, но для упрощения обозначений соответствующий индекс а у функций в этом параграфе мы не будем выписывать.

Число дается (деленным на ) объемом -пространства, заключенным между двумя бесконечно близкими изочастотными поверхностями (поверхностями постоянной частоты) . В каждой точке -пространства градиент функции направлен по нормали к проходящей через эту точку изочастотной поверхности.

Поэтому из выражения ясно, что расстояние между двумя бесконечно близкими такими поверхностями (измеренное по отрезку нормали между ними) есть Умножив эту величину на площадь элемента изочастотной поверхности и проинтегрировав по всей этой поверхности (в пределах одной ячейки обратной решетки), найдем искомую часть объема -пространства, а разделив ее на плотность распределения частот:

В каждой зоне (области значений, пробегаемых некоторой ветвью в одной ячейке обратной решетки k) функция должна иметь по крайней мере один минимум и один максимум. Отсюда в свою очередь следует, что эта функция должна обладать также и седловыми точками. Существование всех таких стационарных точек приводит к определенным особенностям функции распределения частот (L. van Hove, 1953).

Вблизи экстремальной точки, находящейся при некотором разность имеет вид

Направив координатные оси в k-пространстве вдоль главных осей этой квадратичной формы, запишем её в виде

где — главные значения симметричного тензора

Рассмотрим сначала точку минимума или максимума функции о (к). Тогда имеют Одинаковый знак. Введя вместо новые переменные согласно пишем:

При этом изочастотные поверхности в -пространстве являются сферами. Переходя в (70,1) к интегрированию в -пространстве, имеем

Элемент поверхности сферы: , где — элемент телесного угла. Градиент же функции (70,3):

Поэтому интеграл в (70,4) оказывается равным выразив через согласно (70,3), окончательно находим

Таким образом, плотность числа колебаний имеет корневую особенность; производная обращается при со в бесконечность.

Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае (если значение лежит внутри, а не на самых краях полосы изменения частоты) изочастотные поверхности для близких к значений со могут содержать (помимо эллипсоидов вокруг точки ) еще и другие листы, в других частях ячейки -пространства.

Поэтому в общем случае выражение (70,5) дает лишь «особую» часть плотности числа колебаний, так что правильнее писать

с одной стороны от точки (при в случае максимума, или в случае минимума), и с другой стороны.

Рис. 9.

Отметим также, что формула (70,5) не относится, конечно, к окрестности нижнего края зоны акустических колебаний, где закон дисперсии имеет вид (69,15). Легко видеть, что в этом случае

(70,7)

Рассмотрим теперь окрестность седловой точки. В этом случае две из величин в (70,2) положительны, а одна отрицательна, или наоборот. Вместо (70,3) будем иметь теперь

Примем для определенности верхний знак в этом выражении. Тогда изочастотные поверхности при представляют собой двухполостные, а при -однополостные гиперболоиды; граничная же поверхность со является двухполостным конусом (рис. 9).

Интегрирование в (70,4) удобно производить теперь в цилиндрических координатах в -пространстве: , где а Ф — полярный угол в плоскости . Абсолютная величина градиента: При интеграл, берется по двум полостям гиперболоида:

в качестве верхнего предела К (значение которого не отражается на виде искомой особенности) можно взять какое-либо значение большое по сравнению с у но в то же время настолько малое, что еще применимо выражение (70,8) для формы изочастотной поверхности. В результате находим

При аналогичным путем находим

где Таким образом, в окрестности седловой точки плотность числа колебаний имеет вид

И здесь имеет корневую особенность.

Для седловой точки с нижним знаком в (70,8) получается такой же результат с перестановкой областей и (корневая особенность при ).