§ 114. Формула Пуассона

Зная средний квадрат флуктуации числа частиц в заданном объеме газа (113,1), можно написать соответствующее гауссово распределение вероятностей флуктуаций этого числа:

(114,1)

Эта формула, однако, применима лишь для малых флуктуаций — отклонение должно быть малым по сравнению с самим числом

Если выделенный в газе объем V достаточно мал, то число частиц в нем невелико, и представляет интерес рассмотрение также и больших флуктуаций, при которых N — N становится сравнимым с N. Заметим, что этот вопрос имеет смысл лишь в применении к больцмановскому газу, так как в газах Ферми или Бозе вероятность таких флуктуаций может стать заметной лишь в настолько малых объемах, что существенными становятся квантовые флуктуации.

Решение поставленного вопроса проще всего получить следующим образом. Пусть полный объем газа и число частиц в нем, а -малая по сравнению с часть объема. В силу однородности газа очевидно, что вероятность некоторой определенной частице находиться в объеме V равна просто отношению , а вероятность одновременного нахождения в нем N определенных частиц равна Аналогично вероятность частице не находится в объеме V равна а такая же вероятность одновременно для определенных частиц есть Поэтому вероятность того, что в объеме V будет находиться всего N каких-либо молекул, дается выражением

где введен множитель, определяющий число возможных способов выбора N из частиц.

В интересующем нас случае а число N хотя и может значительно отличаться от своего среднего значения N, но, разумеется, предполагается малым по сравнению с полным числом частиц в газе. Тогда можно положить и пренебречь N в показателе степени, так что получается

Но есть не что иное, как среднее значение N числа частиц в объеме V. Поэтому имеем

Наконец, имея в виду известную формулу

заменяем с большим на и получаем окончательно искомое распределение вероятностей в видех)

(114,3)

Это — так называемая формула Пуассона. Легко убедиться в том, что она удовлетворяет условию нормировки .

Вычислим с помощью этого распределения средний квадрат флуктуации числа частиц. Пишем:

Отсюда находим для искомой флуктуации прежнее значение

(114,4)

Таким образом, средний квадрат флуктуации числа частиц равен только при больших, но и вообще при любых значениях N.

Отметим, что формула (114,3) может быть получена и непосредственно из распределения Гиббса. Согласно последнему распределение N частиц газа, рассматриваемых одновременно, по различным квантовым состояниям определяется выражением

где есть сумма энергий отдельных частиц. Для получения искомой вероятности надо просуммировать это выражение по всем состояниям частиц, приходящимся на заданный объем V. Производя суммирование по состояниям каждой частицы независимо, мы должны одновременно разделить результат на (ср. § 41), так что получается

Но стоящая здесь сумма есть не что иное, как среднее значение N числа частиц в рассматриваемом объеме. Поэтому находим: после чего из условия нормировки находим приходя снова к формуле (114,3).