Главная > Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика.
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 153. Флуктуационная теория критической точки

Полученные в предыдущем параграфе формулы позволяют установить определенную аналогию между термодинамическим описанием свойств вещества вблизи критической точки и вблизи точек фазового перехода второго рода.

Для этого будем, в духе теории Ландау, сначала рассматривать не как определенную функцию Р и Т, а как независимую переменную, равновесное значение которой устанавливается минимизацией некоторого термодинамического потенциала . Последний следует подобрать таким образом, чтобы эта минимизация действительно приводила к правильному уравнению состояния (152,7).

Этому требованию удовлетворяет выражение (153,1)

Сравнив (153,1) с (144,3), мы видим теперь, что существует аналогия между описанием фазового перехода второго рода во внешнем поле в теории Ландау и описанием критической точки между жидкостью и газом в ван-дер-Ваальсовой теории. При этом роль параметра порядка во втором случае играет изменение плотности вещества а роль внешнего поля — разность

(153,2)

Если есть термодинамический потенциал тела вблизи точки фазового перехода второго рода (при некотором фиксированном значении ), то выражение даст вид термодинамического потенциала вещества вблизи критической точки. Все сказанное в § 146 о способе перехода от потенциала Ф к потенциалу Q относится к любому случаю, так что аналогия остается и для потенциалов в обеих задачах.

В § 147 было показано, каким образом можно перейти от термодинамического потенциала в теории Ландау к эффективному гамильтониану, описывающему фазовый переход в точной флуктуационной теории. Поэтому указанная аналогия позволяет ожидать, что и законы поведения термодинамических величин вблизи критической точки совпадают (с соответствующей заменой смысла и h) с предельными законами во флуктуационной области фазового перехода второго рода во внешнем поле (описывающегося всего одним параметром порядка).

Следует сразу же подчеркнуть, что такое отождествление заведомо может иметь лишь приближенный характер. В теории фазовых переходов, основанной на эффективном гамильтониане (147,6), имеет место точная симметрия по отношению к преобразованию (связанная с тождественным отсутствием члена третьего порядка В теории же критической точки такая симметрия является лишь приближенной; отсутствие в (153,1) (а потому и в эффективном гамильтониане) членов, нарушающих эту симметрию, связано лишь с пренебрежением ими как малыми по сравнению с остальными членами.

Поэтому можно утверждать лишь, что должны совпадать главные члены в предельных зависимостях в обеих задачах.

В теории фазовых переходов при имеем а при и находятся в равновесии две фазы с отличными от нуля значениями параметра порядка и причем (точки А и А' на рис. 64, б, стр. 499); последнее равенство является при этом точным следствием отмеченной выше симметрии эффективного гамильтониана. В случае критической точки этим свойствам отвечает равенство

(153,3)

определяющее критическую изохору при и линию равновесия жидкости и пара при Равенство же означает здесь симметричность линии фазового равновесия в плоскости , а продолжение аналогии позволяет утверждать, что эти значения стремятся к нулю при по закону

с тем же показателем, что и в Но поскольку инвариантность эффективного гамильтониана по отношению к изменению знака имеет лишь приближенный характер, то возникает вопрос о предельном законе температурной зависимости суммы На основе сказанного до сих пор можно утверждать лишь, что эта величина более высокого порядка малости, чем сами мы вернемся к этому вопросу в конце параграфа.

На рис. 74 изображена фазовая диаграмма в плоскости Область расслоения на две фазы заштрихована, а ее граница изображена симметричной кривой, как это соответствует закону (153,4).

Теплота испарения связана с разностью формулой (152,14). Поэтому она стремится при к нулю по тому же закону

(153,5)

Общее уравнение состояния однородного вещества во всей окрестности критической точки (в плоскости ) можно представить в виде

(153,6)

где верхний и нижний знаки относятся (В. Widom, 1965). Эта формула соответствует уравнению (148,18) теории фазовых переходов (разрешенному относительно К).

Рис. 74.

К функции в (153,6) относятся такие же соображения об аналитичности, о которых говорилось в § 149 в случае переходов второго рода.

Так, при заданном отличном от нуля значении изменение t нигде не приводит к прохождению через критическую точку, и потому значение не является особой точкой функции (153,6). Она разложима, следовательно, по целым степеням t. Другими словами, функция разлагается по целым степеням . Первые члены разложения: со так что уравнение состояния принимает вид

(153,7)

(первый член разложения соответствует определению (148,10) для случая сильного поля в теории фазовых переходов). На рис. 74 тонкими пунктирными линиями схематически показаны границы области, к которой относится это уравнение состояния. В этой области можно выделить еще два предельных случая. Если (в частности, на критической изотерме, т. е. на линии то

(153,8)

Если же (в частности, на критической изобаре, т. е. на линии то

(153,9)

Сравнение (153,8) и (153,9) обнаруживает, как и следовало, симметрию между .

Аналогичным образом при заданном отличном от нуля значении t не является особой точкой нулевое значение переменной . Поэтому при функция (153,6) разложима по целым степеням причем разложение может содержать только нечетные степени снова ввиду симметрии эффективного гамильтониана относительно одновременного изменения знаков . Отсюда следует, что

множитель сокращает нецелую степень , а переменная разложения . Таким образом, уравнение состояния принимает вид

(153,10)

(учтено равенство ). Область применимости этого уравнения тоже схематически показана на рис. 74. Первый член разложения (153,10) соответствует соотношению теории фазовых переходов в слабом поле.

Поведение производных различных порядков от по ) (при ) зависит от направления (в плоскости ), по которому происходит приближение к критической точке. При приближении вдоль критической изотермы функция дается формулой (153,8). Фактическое значение индекса лежит между 4 и 5. Поэтому вдоль критической изотермы стремится к нулю не только но и производные нескольких следующих порядков.

При приближении к критической точке по всякому другому направлению (лежащему вне области расслоения на две фазы, т. е. вдоль лучей выполняется неравенство , поскольку фактически Из уравнения состояния имеем тогда

и для второй производной

Множитель поскольку фактически . Таким образом, производная тоже стремится к нулю.

Поведение теплоемкости вещества в критической области можно выяснить, исходя из выражения термодинамического потенциала

(153,11)

написанного прямо по аналогии с формулой (149,7) теории фазовых переходов (с тождественной заменой показателей: ).

Не повторяя заново всех рассуждений, выпишем сразу (по аналогии с (149,9-10)) нужные для дальнейшего предельные выражения:

(153,12)

Двукратным дифференцированием выражения (153,12) находим теплоемкость на критической изохоре (линия ):

(153,14)

Поскольку дифференцирование при означает дифференцирование при то это — теплоемкость при постоянном объеме. Таким образом, теплоемкость на критической изохоре ведет себя как теплоемкость в фазовом переходе второго рода!

Согласно формуле (16,10) имеем

При приближении к критической точке производная стремится к постоянному пределу b, в чем легко убедиться с помощью уравнений состояния (153,7) или (153,10). Поэтому

Расходимость этого выражения при приближении к критической точке более сильная, чем расходимость поэтому член опущен по сравнению с

Наконец, остановимся на вопросе об асимметрии кривой сосуществования фаз вблизи критической точки (В. Л. Покровский, 1972).

Как уже было отмечено, эта асимметрия может появиться только в результате учета в эффективном гамильтониане членов, нарушающих его симметрию относительно преобразования

Первый из таких членов: его появление можно формально представить как результат замены в эффективном гамильтониане t на тогда

Эта замена в эффективном гамильтониане приведет к такой же замене в термодинамическом потенциале, выраженном в функции от h и

Вблизи кривой сосуществования фаз функция дается выражением (153,13); искомая же плотность вычисляется дифференцированием по h. В результате получим

Рис. 75.

Первый член дает уже известные нам значения (153,4) плотностей на симметричной кривой сосуществования; этот член исчезает в сумме , для которой остается

(153,16)

чем и определяется искомый закон. Фактически , так что асимметрия действительно относительно мала: при . Сумма фактически положительна; это значит, что ее учет деформирует кривую сосуществования, как это показано на рис. 75.

1
Оглавление
email@scask.ru