§ 118. Корреляция флуктуаций во времени

Рассмотрим какую-либо физическую величину, характеризующую находящуюся в термодинамическом равновесии замкнутую систему или ее отдельную часть (в первом случае это не должна быть величина, остающаяся для замкнутой системы по определению постоянной, например, ее энергия). С течением времени эта величина испытывает небольшие изменения, флуктуируя вокруг своего среднего значения. Обозначим снова посредством разность между этой величиной и ее средним значением (так что ).

Между значениями в разные моменты времени существует некоторая корреляция; это значит, что значение в некоторый момент времени t влияет на вероятности различных ее значений в другой момент времени t. Аналогично пространственной корреляции, рассмотренной в предыдущих параграфах, можно характеризовать временную корреляцию средним значением произведения

Усреднение понимается здесь, как обычно, в статистическом смысле, т. е. как усреднение по вероятностям всех значений, которые может иметь величина в моменты t и f. Как было указано еще в § 1, такое статистическое усреднение эквивалентно усреднению по времени, — в данном случае по одному из времен t, f при заданной разности . Получающаяся таким образом величина

(118,1)

зависит только от разности это определение можно поэтому записать и в виде

(118,2)

При неограниченном увеличении разности времен корреляция, очевидно, исчезает, и соответственно этому функция стремится к нулю. Отметим также, что ввиду очевидной симметрии определения (118,1) по отношению к перестановке t и функция четна:

Рассматривая величину как функцию времени, мы тем самым подразумеваем, что она ведет себя классическим образом. Написанное определение можно, однако, представить и в форме, применимой и к квантовым величинам. Для этого надо рассматривать вместо величины ее квантовомеханический, зависящий от времени (гейзенберговский) оператор . Операторы относящиеся к разным моментам времени, вообще говоря, не коммутативны, и корреляционная функция должна быть теперь определена как

(118,4)

где усреднение производится по точному квантовому состоянию

Предположим, что величина такова, что заданием ее определенного значения (существенно превышающего ее среднюю флуктуацию ) могло бы характеризоваться определенное состояние неполного равновесия. Другими словами, время релаксации для установления неполного равновесия при заданном значении предполагается много меньшим времени релаксации для установления равновесного значения самой величины

Это условие удовлетворяется для широкой категории величин, представляющих физический интерес. Флуктуации таких величин мы будем называть квазистационарными. Ниже в этом параграфе рассматриваются флуктуации этого типа и, кроме того, величина предполагается классической.

Предположим также, что в процессе приближения к полному равновесию в системе не возникает никаких других отклонений от равновесия, которые бы требовали введения новых величин для своего описания. Другими словами, в каждый момент времени состояние неравновесной системы вполне определяется значением (более общий случай будет рассмотрен в следующем параграфе).

Пусть величина имеет в некоторый момент времени t значение, большое по сравнению со средней флуктуацией, т. е. система существенно неравновесна. Тогда можно утверждать, что в последующие моменты времени система будет стремиться прийти в состояние равновесия, соответственно чему будет уменьшаться. При этом в силу сделанных предположений скорость изменения величины будет в каждый момент времени целиком определяться значением самого в этот момент: Если все же сравнительно мало, то можно разложить по степеням и ограничиться линейным членом

(118,5)

где — положительная постоянная; член нулевого порядка в этом разложении отсутствует, поскольку в полном равновесии (т. е. при скорость должна обратиться в нуль. Уравнение (118,5) представляет собой линеаризованное макроскопическое «уравнение движения» неравновесной системы, описывающее процесс ее релаксации (физическая природа которого целиком зависит от природы величины ). Постоянная определяет порядок величины времени релаксации для установления полного равновесия.

Возвращаясь к флуктуациям в равновесной системе, введем величину определив ее как среднее значение величины в момент времени при условии, что в предшествующий момент она имела некоторое заданное значение такое среднее значение, вообще говоря, отлично от нуля. Очевидно, что корреляционная функция может быть написана с помощью функции в виде

(118,6)

где усреднение производится уже только по вероятностям различных значений в исходный момент времени

Для значений больших по сравнению со средней флуктуацией, из уравнения (118,5) следует, что и

(118,7)

Учитывая усредненный характер величины следует считать, что это уравнение тем самым справедливо и при произвольных малых ее значениях. Интегрируя уравнение и помня, что по определению найдем

и, наконец, подставляя в (118,6), получим формулу, определяющую функцию временной корреляции:

В таком виде, однако, эта формула относится только к t > 0, так как в ее выводе (уравнение (118,7)) существенно предполагалось, что момент t следует после Учитывая, с другой стороны, четность функции можно написать окончательную формулу

(118,8)

( из (110,5)), применимую как при положительных, так и отрицательных t. Эта функция имеет при две различные производные. Это свойство возникло в результате того, что мы рассматриваем промежутки времени, большие по сравнению со временем установления неполного равновесия (равновесия при заданном значении ). Рассмотрение меньших времен, невозможное в рамках «квазистационарной» теории, привело бы, разумеется, к равенству при , как и должно быть для всякой четной функции от t с непрерывной производной.

Изложенную теорию можно сформулировать еще и в другом виде, который может представить определенные преимущества.

Уравнение для самой величины (а не для ее среднего значения ) справедливо, как уже указывалось, лишь при больших по сравнению со средней флуктуацией значениях При произвольных же значениях напишем в виде

(118,9)

являющемся определением новой величины у. Хотя по абсолютной величине размаха испытываемых ею колебаний величина у отнюдь не меняет с течением времени своего характера, но при больших (в указанном выше смысле) значениях она представляет относительно малую величину, которой в уравнении (118,9) можно пренебречь.

Введенную таким образом в уравнение (118,9) величину у (которую называют случайной силой) надо рассматривать как источник флуктуаций величины При этом корреляционная функция случайной силы должна быть задана таким образом, чтобы она приводила к правильному результату (118,8) для Для этого надо положить

(118,10)

В этом легко убедиться, написав решение уравнения (118,9):

и усреднив произведение представив его предварительно в виде двойного интеграла.

Тот факт, что выражение (118,10) обращается в нуль при означает, что значения величины у в различные моменты времени не коррелированы. В действительности, разумеется, это утверждение является приближенным и означает лишь, что значения коррелируют на протяжении промежутков времени порядка времени установления неполного равновесия (равновесия при заданном ), которое в излагаемой теории, как уже отмечалось, рассматривается как пренебрежимое малое.