Главная > Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика.
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 33. Разложение по степеням h

Формула (31,5) представляет собой по существу первый, основной член разложения квантовомеханического выражения (31,3) для свободной энергии по степеням в квазиклассическом случае. Представляет существенный интерес вычисление также и следующего неисчезающего члена этого разложения (Е. Wigner, G. Е. Uhlenbeck, L. Gropper, 1932).

Задача о вычислении свободной энергии сводится к вычислению статистической суммы. Для этой цели воспользуемся тем, что последняя представляет собой след оператора (см. (31,4)); вводим обозначение для упрощения записи громоздких выражений. Вычисление же следа оператора может производиться с помощью любой полной системы ортогональных и нормированных волновых функций. В качестве таковых удобно выбрать волновые функции свободного движения системы из N невзаимодействующих частиц, находящихся в некотором большом (но конечном) объеме V.

Эти функции имеют вид

где — декартовы координаты частиц, а соответствующие им импульсы; мы нумеруем их индексом, пробегающим значения , где — число степеней свободы системы N частиц.

Дальнейшие вычисления относятся в равной степени к системам, содержащим как одинаковые, так и различные частицы (атомы). Для того чтобы учесть в общем виде возможное различие частиц, припишем массе частицы индекс, указывающий номер степени свободы: (разумеется, значения трех соответствующих одной и той же частице, во всяком случае одинаковы).

Наличие одинаковых частиц в теле приводит в квантовой теории к необходимости учесть так называемые обменные эффекты.

Это значит, прежде всего, что волновые функции (33,1) должны были бы быть симметризованы или антисимметризованы по координатам частиц — смотря по тому, какой статистике подчиняются частицы. Оказывается, однако, что этот эффект приводит к появлению в свободной энергии лишь экспоненциально малых членов и потому не представляет никакого интереса. Кроме того, квантовомеханическая тождественность частиц сказывается на способе, которым должно производиться суммирование по различным значениям импульсов частиц — с этим нам придется столкнуться в дальнейшем, например при вычислении статистических сумм для квантового идеального газа. Этот эффект приводит к появлению в свободной энергии члена третьего порядка по (см. ниже) и потому тоже не сказывается на членах порядка которые будут нами здесь вычислены. Таким образом, при вычислениях мы можем вовсе не учитывать никаких обменных эффектов.

В каждой из волновых функций (33,1) импульсы имеют определенные постоянные значения. Все возможные значения каждого из образуют густой дискретный ряд (расстояния между соседними значениями обратно пропорциональны линейным размерам занимаемого системой объема). Поэтому суммирование матричных элементов по всем возможным значениям импульсов можно заменить интегрированием по учтя при этом, что число квантовых состояний, «приходящихся» на объем фазового пространства (все значения координат каждой частицы в объеме V и значения импульсов в ), равно

Введем обозначение

Интересующие нас матричные элементы получаются интегрированием по всем координатам:

Искомая же статистическая сумма получится отсюда интегрированием еще и по импульсам.

Всего мы должны, следовательно, проинтегрировать по фазовому пространству, точнее, по тем его областям; которые соответствуют физически различным состояниям тела, как это было объяснено в § 31; как и там, отмечаем это обстоятельство штрихом у знака интеграла:

Начнем с вычисления величины I, применив для этого следующий прием. Образуем производную

(оператор Н действует на все расположенные справа от него множители). Раскроем правую часть равенства, воспользовавшись явным выражением для гамильтониана тела:

где потенциальная энергия взаимодействия всех частиц в теле. С помощью (33,5) получим после простого вычисления следующее уравнение для I:

где

— обычное классическое выражение для энергии тела.

Это уравнение должно быть решено при очевидном условии: при . Подстановкой

оно приводится к виду

с граничным условием при .

Имея в виду получить разложение по степеням решаем уравнение (33,8) методом последовательных приближений:

где при . Подставляя это разложение в уравнение (33,8) и отделяя члены с различными степенями К, получим уравнения

Из первого уравнения определяется а затем из второго . В результате простого вычисления получаем

Искомая статистическая сумма (33,4) равна интегралу

(33,11)

Легко видеть, что член первого порядка по b в этом интеграле исчезает. Действительно, в этом члене подынтегральное выражение есть нечетная функция импульсов ( квадратична по импульсам, согласно (33,10) есть их линейная функция) и потому при интегрировании по импульсам обращается в нуль. Таким образом, переписываем (33,11) в виде

где мы ввели значение , усредненное с помощью классического распределения Гиббса:

Подставляя это выражение для статистической суммы в формулу (31,3), получаем для свободной энергии

или с той же точностью

(33,12)

где — свободная энергия в классической статистике (формула (31,5)).

Таким образом, следующий после классического член в разложении свободной энергии оказывается второго порядка по Это обстоятельство не случайно. В уравнение (33,8), которое мы решаем методом последовательных приближений, квантовая постоянная входит только в виде поэтому и получающееся разложение есть разложение по степеням .

В свободную же энергию, которая есть величина вещественная, могут войти только вещественные степени Поэтому производимое здесь разложение свободной энергии (не учитывающее обменных эффектов) есть разложение по четным степеням .

Нам остается вычислить среднее значение . Мы видели в § 29, что в классической статистике распределения вероятностей для координат и импульсов независимы. Поэтому усреднения по импульсам и по координатам можно производить раздельно.

Среднее значение произведения двух различных импульсов равно, очевидно, нулю. Среднее же значение квадрата равно . Поэтому можно написать:

где при и 0 при . Осуществив с помощью этой формулы усреднение по импульсам, получим

Оба члена здесь могут быть объединены в один, так как входящие сюда средние значения связаны соотношением

В справедливости этого равенства легко убедиться, замечая, что

Первый член в правой стороне даст выражение, представляющее собой поверхностный эффект; ввиду макроскопичности тела им можно полностью пренебречь по сравнению со вторым членом, дающим объемный эффект.

Подставив полученное таким образом выражение для в формулу (33,12) и заменив на найдем окончательно для свободной энергии

(33,15)

Мы видим, что поправка к классическому значению оказывается величиной всегда положительной, определяющейся средними квадратами действующих на частицы сил. Эта поправка убывает с увеличением массы частиц и с возрастанием температуры.

Согласно сказанному выше следующий член производимого здесь разложения был бы четвертого порядка. Это обстоятельство дает возможность совершенно независимым образом вычислить член порядка возникающий в свободной энергии благодаря особенностям суммирования по импульсам, связанным с квантовомеханической тождественностью частиц. Этот член формально совпадает с поправочным членом, возникающим при аналогичном вычислении для идеального газа, и определяется формулой (56,14):

(для тела, состоящего из N одинаковых частиц). Верхний знак относится к статистике Ферми, а нижний — к статистике Бозе; g есть полная кратность вырождения по направлениям моментов — как электронного, так и ядерного.

Полученные формулы позволяют также получить поправочные члены в функциях распределения вероятностей координат и импульсов атомов тела. Согласно общим результатам, полученным в § 5, распределение вероятностей импульсов получается интегрированием I по (см. (5,10)):

Член в I содержит полную производную по координатам и при интегрировании по ним дает величину, которая представляет собой поверхностный эффект и может быть опущена. Таким образом, имеем

Третий и четвертый члены в выражении (33,10) для в результате интегрирования по координатам дадут малую постоянную (не содержащую импульсов) величину, которой в том же приближении можно пренебречь. Вынося также в постоянный коэффициент множитель , получим

Входящие сюда средние значения связаны соотношениями

(аналогичными ).

Поэтому имеем

Это выражение удобно переписать окончательно в следующем виде:

(33,18)

заменив с той же точностью квадратные скобки в (33,17) соответствующим экспоненциальным выражением.

Таким образом, мы видим, что поправка к классической функции распределения для импульсов сводится к тому, что в экспоненте к кинетической энергии прибавляется квадратичное по импульсам выражение с коэффициентами, гависящими от закона взаимодействия частиц в теле.

Если мы хотим найти распределение вероятностей для какого-либо одного из импульсов , надо проинтегрировать (33,17) по всем импульсам. При этом все члены с квадратами , дадут такие постоянные величины, которыми можно пренебречь по сравнению с 1, а члены с произведениями различных импульсов вообще обратятся в нуль. В результате найдем, снова переходя к экспоненциальному виду,

(33,19)

Мы видим, что получается распределение, отличающееся от максвелловского лишь заменой истинной температуры Т на некоторую более высокую «эффективную температуру»:

Аналогичным путем можно вычислить исправленную функцию распределения для координат. Она получается интегрированием по импульсам:

Те же вычисления, с помощью которых было получено выражение (33,13), приведут к следующему результату:

(33,20)

1
Оглавление
email@scask.ru