§ 113. Флуктуации в идеальном газе

Средний квадрат флуктуации числа частиц обычного идеального газа, находящихся в некотором выделенном в газе относительно малом объеме, мы найдем, подставив в формулу (112,13) . Это дает следующий простой результат:

(113,1)

Относительная флуктуация числа частиц равна, следовательно, просто обратному квадратному корню из среднего числа частиц:

Для того чтобы вычислить флуктуацию числа частиц в идеальном газе Бозе или Ферми, следует воспользоваться формулой (112,14), подставив в нее выражение (56,5) для N как функции от , получаемое интегрированием соответствующей функции распределения. Мы не станем выписывать здесь получающиеся таким способом довольно громоздкие выражения. Отметим лишь следующее обстоятельство. Мы видели, что у бозе-газа при температурах (см. § 62) давление не зависит от объема; другими словами, его сжимаемость обращается в бесконечность. Согласно формуле (112,13) отсюда следовало бы, что флуктуации числа частиц тоже становятся бесконечными. Это означает, что при вычислении флуктуаций в бозе-газе при низких температурах нельзя пренебрегать взаимодействием его частиц, сколь бы слабым оно ни было; учет этого взаимодействия, которое должно существовать во всяком реальном газе, привел бы к конечным флуктуациям.

Далее рассмотрим флуктуации в распределении частиц газа по различным квантовым состояниям.

Введем снова в рассмотрение квантовые состояния частиц (включая в это понятие также и различные состояния их поступательного движения), и пусть — их числа заполнения.

Рассмотрим совокупность частиц, находящихся в квантовом состоянии; ввиду полной статистической независимости этой системы частиц от остальных частиц газа (ср. § 37) можно применить к ней формулу (112,14):

(113,2)

В применении к ферми-газу надо подставить сюда

Произведя дифференцирование, найдем

(113,3)

Аналогичным образом найдем для бозе-газа

(113,4)

Для больцмановского газа при подстановке получается, естественно, формула

(113,5)

в которую переходят как (113,3), так и (113,4) при

Просуммируем формулу (113,3) или (113,4) по группе из близких друг к другу состояний, содержащих всего частиц. В силу упомянутой уже статистической независимости флуктуаций различных получим

(113,6)

где — общее значение близких друг к другу

Полученные формулы можно применить, в частности, к черному излучению (равновесный бозе-газ фотонов), для чего надо положить в (113,4) . Рассмотрим совокупность квантовых состояний фотонов (в объеме V) с близкими значениями частот, лежащими в малом интервале число таких состояний равно (см. (63,3)). Общая энергия квантов в этом интервале частот есть . Умножив формулу (113,6) на и опуская индекс j, получим следующее выражение для флуктуации энергии черного излучения в заданном интервале частот (впервые найденное Эйнштейном, 1909):

(113,7)

Задача

Определить для электронного газа при температурах, малых по сравнению с температурой вырождения.

Решение. При вычислении можно пользоваться выражением (57,3) для при абсолютном нуле. Простое вычисление дает