§ 147. Эффективный гамильтониан

Прежде чем перейти к описанию свойств фазового перехода вне области применимости теории Ландау (т. е. в непосредственной окрестности точки перехода), покажем, каким образом могла бы быть поставлена статистическая задача об исследовании этих свойств.

Согласно (35,3) термодинамический потенциал определяется статистической суммой

(147,1)

где интегрирование производится по всему фазовому пространству системы N частиц. Если же распространить интегрирование лишь по той части фазового пространства, которая отвечает некоторому заданному распределению параметра порядка , то определяемый формулой (147,1) функционал можно рассматривать как потенциал, отвечающий этому распределению.

Непрерывное распределение удобно при этом заменить дискретным набором комплексных переменных компонент фурье-разложения (146,7). Тогда определение запишется в виде

где - величины как функции точки фазового пространства. Очевидно, что при таком определении

В предыдущем параграфе было показано, что аномальному возрастанию вблизи точки перехода подвержены только флуктуации с малыми волновыми векторами к; именно этими флуктуациями определяется, следовательно, характер особенности термодинамических функций. В то же время такие количественные характеристики вещества, как сама температура перехода определяются в основном атомными взаимодействиями в веществе на близких расстояниях, чему отвечают коротковолновые компоненты . Это физически очевидное обстоятельство проявляется в статистическом интеграле тем, что большим значениям к отвечает большой фазовый объем.

Пусть (параметр обрезания) — некоторое значение k, малое по сравнению с характерным обратным атомным размером. Длинноволновая часть распределения дается суммой

(147,4)

а термодинамический потенциал отвечающий этому распределению, дается формулой (147,2), в которой произведение по к должно быть распространено только по значениям . Соответственно и связь с дается формулой (147,3) с интегрированием лишь по .

Вблизи точки перехода функционал может быть разложен по степеням функции , а поскольку эта функция — медленно меняющаяся, то в разложении можно ограничиться членами наиболее низкого порядка по производным этой функции. В то же время это разложение должно уже учитывать самый факт существования фазового перехода, поскольку значение определяется уже исключенными из коротковолновыми компонентами. Это значит, что разложение должно прямо иметь вид (146,5)

Окончательно, опустив теперь значок приходим к следующему выражению для термодинамического потенциала :

(147,5)

где

(147,6)

играет роль эффективного гамильтониана системы, испытывающей фазовый переход.

В области применимости теории Ландау флуктуации малы. Это значит, что в статистическом интеграле (147,5) существенны значения , лежащие в узком интервале вокруг значения минимизирующего эффективный гамильтониан. Взяв интеграл методом перевала (т. е. заменив показатель экспоненты его разложением вблизи минимума), мы должны вернуться к термодинамическому потенциалу теории Ландау; поэтому коэффициенты в эффективном гамильтониане и в термодинамическом потенциале теории Ландау должны совпадать буквально. При этом, однако, флуктуационные поправки приведут к некоторому сдвигу значения температуры перехода по сравнению со значением фигурирующим в (147,6) в разности

Интеграл (147,5) берется по бесконечному множеству переменных (после того, как эффективный гамильтониан подстановкой из (147,4) выражен через эти переменные). Если бы этот (как говорят, континуальный) интеграл мог быть вычислен, тем самым был бы выяснен характер особенности функции вблизи точки перехода. Это, однако, оказывается невозможным.

В формировании особенности играют роль флуктуации с волновыми векторами . При радиус корреляции так что существенны сколь угодно малые значения k. Поэтому представляется весьма вероятным, что характер особенности не зависит от выбора величины параметра обрезания

Если считать, что эта особенность состоит в появлении в термодинамическом потенциале членов с нецелыми степенями температуры t и поля h, то сделанное утверждение означает независимость от показателей этих степеней (так называемых критических индексов)

Отсюда в свою очередь должна следовать независимость этих показателей от конкретных значений коэффициентов b и g в эффективном гамильтониане (а тем самым от или Р, функциями которого они являются). Действительно, изменение эквивалентно изменению масштаба измерения координат и потому последнее не должно менять критических индексов. С другой стороны, преобразование меняет коэффициенту в эффективном гамильтониане, не меняя коэффициента поэтому критические индексы не должны зависеть от g. Аналогичным образом, заменив одновременно с преобразованием также и переменную континуального интегрирования изменим b, не изменив g, а потому критические индексы не зависят и от b (изменение же коэффициента а вообще несущественно, так как устраняется соответствующим изменением масштаба t, заведомо не отражающимся на показателе степени).

Таким образом, следует ожидать, что критические индексы будут одинаковы для всех систем с эффективным гамильтонианом вида (147,6). Они, однако, могут быть другими, если симметрия системы такова, что (по-прежнему при одном параметре порядка) квадратичный по производным член в эффективном гамильтониане имеет более общий вид (146,4).

Продолжая эту линию рассуждений, можно ожидать, что и в более общих случаях, когда изменение симметрии при переходе описывается несколькими параметрами порядка, критические индексы зависят только от структуры эффективного гамильтониана, но не от конкретных значений коэффициентов в нем. При этом в понятие структуры гамильтониана входит число и вид инвариантов четвертого порядка (а также знаки и соотношения типа неравенств между коэффициентами при них), и вид членов, квадратичных по производным от параметров порядка. Возникающие в связи с этим вопросы, однако, в настоящее время еще почти вовсе не исследованы.

Наконец, скажем несколько слов о вычислении последовательных членов разложения статистической суммы (147,5-6) по степеням b. Пусть , так что ; при эффективный гамильтониан

(147,7)

он распадается на сумму членов, каждый из которых зависит только от одного из статистический интеграл при этом легко вычисляется (см. задачу).

Дальнейшие члены разложения (отвечающие уже учету «взаимодействия» между флуктуациями с различными к) представляют собой произведения различных усредненные по гауссовому распределению . Для таких интегралов справедлива теорема, согласно которой среднее значение от произведения нескольких равно сумме произведений попарных средних значений от множителей, выбранных из числа имеющихся всеми возможными способами. Каждое такое среднее есть корреляционная функция флуктуаций (в k-представлении), и, таким образом, вычисление последовательных членов разложения по b сводится к вычислению некоторых интегралов от произведений корреляционных функций . По мере приближения к точке перехода эти интегралы расходятся, но оказывается невозможным выделить среди них какую-либо совокупность «наиболее сильно» расходящихся, которую можно было бы просуммировать.

В описанной постановке задачи подразумевается, что характер особенности не зависит от наличия членов более высоких порядков в разложении эффективного гамильтониана по степеням . Есть веские основания полагать, что это действительно так, поскольку такие члены приводят к интегралам, расходящимся слабее, чем интегралы, возникающие от члена

Задача

Найти первую флуктуанионную поправку к теплоемкости в области применимости теории Ландау (А. П. Леванюк, 1963).

Решение. Произведем вычисления для симметричной фазы в отсутствие поля. В первом приближении эффективный гамильтониан дается выражением (147,7). Вычисление статистического интеграла по формуле (147,5) дает

(интегрирование производится по половине -пространства, поскольку не независимы). Представляя собой малую поправку в потенциале , это выражение дает поправку также и к потенциалу .

Двукратное дифференцирование этого выражения по t дает поправку к теплоемкости

Потребовав малости этой поправки по сравнению со скачком теплоемкости (143,8), мы снова придем к условию применимости теории Ландау (146,15) в виде

Обратим внимание на большой численный коэффициент в знаменателе выражения в правой стороне неравенства.