§ 79. Метод корреляционных функций

Преимущество изложенного в предыдущем параграфе метода Дебая — Хюккеля состоит в его простоте и физической прозрачности. С другой стороны, его основной недостаток заключается в невозможности обобщения для вычисления следующих приближений по концентрации. Мы изложим поэтому вкратце также и другой метод (предложенный Н. Н. Боголюбовым, 1946), хотя и более сложный, но позволяющий в принципе вычислить также и следующие члены разложения термодинамических величин.

Этот метод основан на рассмотрении так называемых корреляционных функций между одновременными положениями нескольких частиц в заданных точках пространства. Простейшей и наиболее важной из них является бинарная корреляционная функция пропорциональная вероятности найти одновременно две частицы (иона) в заданных точках (оба иона а и b могут быть как одного, так и разных родов). Ввиду изотропии и однородности газа эта функция зависит, конечно, лишь от . Мы выберем нормировочный коэффициент в функции таким образом, чтобы она стремилась к единице при .

Если функция известна, искомая энергия Екорр может быть найдена путем интегрирования по очевидной формуле

где суммирование ведется по всем родам ионов, а — энергия кулоновского взаимодействия пары ионов на расстоянии r.

Согласно формуле распределения Гиббса функция дается следующим выражением:

где U — энергия кулоновского взаимодействия всех ионов, а интегрирование производится по координатам всех ионов, за исключением двух данных ионов. Для приближенного вычисления этого интеграла воспользуемся следующим приемом.

Дифференцируем равенство (79,2) по координатам иона b:

где суммирование в последнем члене производится по всем родам ионов, a — тройная функция корреляции, определенная согласно

по аналогии с (79,2).

Предполагая газ достаточно разреженным и рассматривая лишь члены первого порядка, можно выразить функцию тройной корреляции через бинарные корреляции. Действительно, пренебрегая возможностью всем трем ионам находиться вблизи друг друга, имеем

В том же приближении мы можем считать, что даже пары частиц не находятся настолько близко друг к другу, чтобы существенно отличались от единицы. Вводя малые величины

и пренебрегая их высшими степенями, можем написать:

При подстановке этого выражения в интеграл в правой стороне (79,3) остается только член с остальные обращаются тождественно в нуль в силу изотропии газа. В первом члене справа в (79,3) достаточно положить Таким образом,

Возьмем теперь дивергенцию от обеих сторон этого равенства, помня, что

и учитывая известную формулу

После этого интегрирование становится тривиальным ввиду наличия -функции, и мы получаем

Решение этой системы уравнений можно искать в виде

в результате чего система сводится к одному уравнению

Это окончательное уравнение имеет ту же форму, что и уравнение (78,7) в методе Дебая — Хюккеля (член с -функцией в (79,8) соответствует граничному условию при накладываемому на функцию . Решение уравнения (79,8):

чем и определяются бинарные корреляционные функции в плазме.

Для вычисления энергии достаточно подставить теперь из (79,4), (79,7), (79,9) в (79,1). Переходя к интегрированию по относительным координатам двух частиц, находим

(член 1 в не дает вклада в энергию в силу условия электрической нейтральности плазмы). Произведя интегрирование, вернемся к прежнему результату (78,11).

В следующем приближении вычисления становятся более громоздкими. В частности, предположение (79,5) теперь недостаточно, и следует ввести тройные корреляции, не сводящиеся уже к бинарным. Для них получается уравнение, аналогичное (79,3), содержащее теперь четверные корреляции, которые, однако, в данном (втором) приближении сводятся к тройным.