§ 119. Временная корреляция флуктуаций нескольких величин

Полученные в предыдущем параграфе результаты можно обобщить на флуктуации, в которых отклоняются от своих равновесных значений сразу несколько величин . Снова будем считать, что из этих величин уже вычтены их равновесные значения, так что все средние значения .

Корреляционные функции флуктуаций этих величин определяются (в классической теории) как

(119,1)

Уже в силу самого этого определения они обладают очевидным свойством симметрии

Существует, однако, еще и другое свойство симметрии корреляционных функций, имеющее глубокий физический смысл. Оно возникает как следствие симметрии уравнений механики, которыми описывается движение частиц тела, по отношению к обращению времени.

В силу этой симметрии совершенно безразлично, какую из величин брать при усреднении в более ранний, а какую в более поздний момент времени. Поэтому

(119,3)

Из обоих свойств (119,2-3) следует также, что

В этом выводе молчаливо подразумевалось, что сами величины таковы, что при изменении знака времени они остаются неизменными. Но существуют также и величины, которые сами меняют знак при обращении времени (например, величины, пропорциональные скоростям каким-либо макроскопических движений). Если обе величины обладают таким свойством, то соотношение (119,3) будет по-прежнему справедливым. Если же одна из двух величин меняет знак, а другая остается неизменной, то симметрия по отношению к обращению времени означает, что , т. е.

(119,4)

Вместе с (119,2) отсюда следует:

Будем предполагать теперь, как и в предыдущем параграфе, что флуктуации квазистационарны, т. е. набор значений величин (выходящих за границы их средних флуктуаций) определяет некоторое макроскопическое состояние неполного равновесия. В процессе приближения к полному равновесию величины меняются со временем; предполагается, что набор функций полностью характеризует этот процесс, и никаких других отклонений от равновесия в нем не возникает. Тогда скорости изменения величин в каждом неравновесном состоянии являются функциями от значений в этом состоянии:

(119,5)

Если система находится в состоянии, сравнительно близком к полному равновесию (т. е. если величины можно считать малыми), можно разложить функции (119,5) по степеням ограничившись членами первого порядка, т. е. представить их в виде линейных сумм

(119,6)

с постоянными коэффициентами эти выражения обобщают уравнение (118,5).

Отсюда можно перейти к уравнениям для корреляционных функций так же, как это было сделано в § 118.

Вводим средние значения величин в момент времени при заданных значениях всех в предшествующий момент (сами эти значения в обозначении ) для краткости опускаются). Эти величины удовлетворяют тем же уравнениям (119,6):

(119,7)

причем уже не только для больших (по сравнению со средними флуктуациями), но и для произвольных малых значений Корреляционные функции получаются из умножением на и усреднением по вероятностям различных значений Произведя эту операцию с уравнением (119,7), получим

(119,8)

(индекс в этой системе уравнений свободный).

Как уже указывалось, уравнения (119,6) представляют собой не что иное, как линеаризованные макроскопические «уравнения движения» неравновесной системы, описывающие процесс ее релаксации. Мы видим, что система уравнений для корреляционных функций флуктуаций получается просто заменой в этих «уравнениях движения» величин на функции со «свободным» индексом l, пробегающим все значения от 1 до n. Получающиеся таким образом уравнения относятся к временам и должны быть проинтегрированы при «начальном условии»

(119,9)

(средние значения должны быть равны своим известным значениям (111,9)). Для времен же корреляционные функции определяются затем непосредственно по их свойствам симметрии.