§ 125. Флуктуационно-диссипационная теорема для нескольких величин

ФДТ легко может быть обобщена на случай, когда рассматриваются одновременно несколько флуктуирующих величин .

Обобщенные восприимчивости определяются в таком случае по отклику системы на возмущение вида

(125,1)

и представляют собой коэффициенты в линейной связи между фурье-компонентами средних значений и обобщенных сил :

(125,2)

Изменение энергии системы выражается через внешнее возмущение согласно соотношению

(125,3)

Эта формула, как и (123,10), обычно служит в конкретных применениях теории для установления фактического соответствия между величинами и

Спектральные плотности флуктуаций вводятся по средним значениям симметризованных операторных произведений:

(125,4)

обобщающих выражение (122,8). Вычисление этого среднего как диагонального матричного элемента, аналогичное выводу (124,3), приводит к результату

(125,5)

Пусть на систему действует периодическое возмущение, в котором

(125,6)

Отклик системы на это возмущение:

(125,7)

Подставив (125,6-7) в (125,3) и усреднив по периоду возмущения, получим вместо (123,11) следующее выражение для диссипации энергии:

(125,8)

С другой стороны, вычисление, аналогичное выводу (124,7), дает

а сравнив с (125,8), получим

Наконец усреднив (125,5) и (125,9) по распределению Гиббса, как это было сделано в предыдущем параграфе, найдем следующую формулу, обобщающую флуктуационно-диссипационную теорему (124,9):

(125,10)

Аналогично формулам (124,11-12) можно выразить и формулу (125,10) через фиктивные случайные силы, действие которых дало бы результат, эквивалентный самопроизвольным флуктуациям величин Для этого пишем

(125,11)

и далее

Подставив сюда (125,10), получим

Полученные результаты позволяют сделать определенные заключения о свойствах симметрии обобщенных восприимчивостей (Я. В. Callen, М. L. Barrash, J. L. Jackson, R. F. Green, 1952). Предположим сначала, что величины инвариантны относительно обращения времени; тогда их операторы вещественны. Кроме того, будем считать, что тело не обладает магнитной структурой (см. ниже примечание, стр. 436) и не находится во внешнем магнитном поле; тогда вещественны и волновые функции его стационарных состояний. Поэтому будут вещественны также и матричные элементы величин а учитывая эрмитовость матриц имеем: . Тогда правая, а потому и левая стороны равенства (125,9) симметричны по индексам i, k. Таким образом, или , т. е. мы приходим к выводу о симметричности вещественной части

Но вещественная и мнимая части каждой из величин связаны друг с другом линейными интегральными соотношениями формулами Крамерса — Кронига. Поэтому из симметричности следует симметричность также и , а потому и целиком

Таким образом, приходим к окончательному результату:

(125,13)

Вид этих соотношений несколько меняется, если тело находится во внешнем магнитном поле Н. Волновые функции системы в магнитном поле не вещественны, а обладают свойством Соответственно для матричных элементов величин х имеем

и выражение в правой части (125,9) не меняется при перестановке индексов i, k лишь при условии одновременного изменения знака Н. Поэтому мы приходим к соотношению

Еще одно соотношение дает формула Крамерса—Кронига (123,14), в силу которой имеет место связь вида где J — вещественный линейный оператор. Сложив это равенство с эрмитово-сопряженным равенством получим

(все берутся здесь, разумеется, при одном и том же значении Н). Отсюда видно, что если разность обладает каким-либо свойством симметрии, то тем же свойством обладает и сумма а потому и сами величины Таким образом,

(125,14)

Пусть, наконец, среди величин есть такие, которые меняют знак при обращении времени. Оператор такой величины чисто мнимый, и потому . Если обе величины относятся к такому роду, то весь вывод и результат (125,13) остаются неизменными. Если же одна из двух величин меняет знак при обращении времени, то при перестановке индексов правая сторона равенства (125,9) меняет знак. Соответственно вместо (125,13) получим

(125,15)

или для тела в магнитном поле

(125,16)

Все эти соотношения можно, разумеется, получить и из формулы (125,10) как следствие временной симметрии флуктуаций. Так, если две величины ведут себя одинаково по отношению к обращению времени, то в силу указанной симметрии величина вещественна и симметрична по индексам i, k (см. § 122).

Тогда и правая часть формулы (125,10) должна быть симметрична по тем же индексам, и мы снова приходим к результату (125,13). Такой вывод свойств симметрии обобщенных восприимчивостей аналогичен выводу принципа симметрии кинетических коэффициентов в § 120; мы увидим ниже, что формулы (125,13-16) можно рассматривать как обобщение этого принципа.

Связь обобщенных восприимчивостей с кинетическими коэффициентами выясняется путем сопоставлений ФТД с теорией квазистационарных флуктуаций нескольких величин. Выпишем соответствующие формулы, не повторяя заново всех рассуждений, подобных произведенным в конце предыдущего параграфа для случая одной величины.

Статические значения восприимчивостей связаны с коэффициентами разложения энтропии равенствами

Поэтому смещение состояния равновесия при воздействии на систему статических сил определяется значениями

Макроскопические уравнения движения неравновесной системы, находящейся под действием квазистатических сил можно представить в виде

(125,17)

отличающемся от (120,5) заменой на .

Подставивв ввиде периодических функций (причем записываются в виде линейных комбинаций получим

откуда ввиду произвольности следуют соотношения между коэффициентами

или

(125,18)

Этим и устанавливается искомая связь между и кинетическими коэффициентами

Величины по определению симметричны по своим индексам (как производные ).

Поэтому из симметрии следует такая же симметрия т. е. обычный принцип симметрии кинетических коэффициентов.

Рассматривая в уравнениях (125,17) как случайные силы, получим для них (путем подстановки (125,18) в (125,12))

Если же определить случайные силы так, как это сделано в (122,20), то для их спектрального распределения имеем

Это выражение отличается от (122,21) тем же множителем (124,19), обращающимся в единицу в классическом пределе.