§ 121. Диссипативная функция

Макроскопическое движение тел, погруженных во внешнюю среду, сопровождается, вообще говоря, необратимыми процессами трения, приводящими в конце концов к прекращению движения. Кинетическая энергия тел при этом переходит в тепло, или, как говорят, диссипирует.

Чисто механическое рассмотрение такого движения, очевидно, невозможно; поскольку энергия макроскопического движения переходит в энергию теплового движения молекул тела и среды, то такое рассмотрение требовало бы составления уравнений движения для всех этих частиц. Поэтому вопрос о возможности составления таких уравнений движения в среде, которые бы содержали лишь макроскопические координаты тел, относится к области статистики.

Эта задача, однако, не может быть решена в общем виде. Поскольку внутреннее движение атомов тела зависит не только от движения тела в данный момент времени, но и от предыдущей истории этого движения, в уравнения движения будут, вообще говоря, входить не только макроскопические координаты тел и их первые и вторые производные по времени, но и все производные высших порядков (точнее—функции ) войдут под действием некоторого интегрального оператора). Функции Лагранжа для макроскопического движения системы при этом, конечно, не существует, и уравнения движения в различных случаях будут иметь совершенно различный характер.

Форма уравнений движения может быть установлена в общем виде для случая, когда можно считать, что заданием координат и скоростей состояние системы в данный момент времени определяется полностью, и производными высших порядков можно пренебречь (более точно критерий малости должен устанавливаться в каждом конкретном случае). Кроме того, мы будем считать, что сами скорости достаточно малы, так что их высшими степенями можно пренебрегать. Наконец, предположим, что движение представляет собой малые колебания около некоторых положений равновесия случай, с которым в этой связи обычно и приходится иметь дело; при этом условимся считать координаты выбранными таким образом, чтобы в положении равновесия было . Тогда кинетическая энергия системы будет квадратичной функцией скоростей не зависящей от самих координат потенциальная же энергия связанная с действием внешних сил, будет квадратичной функцией координат

Введем обобщенные импульсы определив их, как обычно, посредством

Эти равенства определяют импульсы в виде линейных комбинаций скоростей. Выразив при помощи них скорости через импульсы и подставив в кинетическую энергию, получим последнюю в виде квадратичной функции импульсов, причем будут иметь место равенства

Если пренебречь процессами диссипации полностью, то уравнения движения будут обычными уравнениями механики, согласно которым производные импульсов по времени равны соответствующим обобщенным силам:

Прежде всего отметим, что уравнения (121,2-3) находятся в формальном соответствии с принципом симметрии кинетических коэффициентов, если под введенными в § 120 величинами понимать координаты и импульсы Действительно, минимальная работа, необходимая для приведения тел из состояния покоя в положениях равновесия в положения с импульсами есть Поэтому роль величин будут играть производные (см. примечание на стр. 401):

а уравнения (121,2-3) будут соответствовать соотношениям (120,5) причем

в соответствии с правилом (120,12) (мы имеем здесь дело со случаем, когда одна из величин ) остается неизменной при изменении знака времени, а другая (-меняет знак).

В соответствии с общими соотношениями (120,5) мы можем теперь написать уравнения движения с учетом процессов диссипации, прибавив к правым сторонам равенств (121,2-3) некоторые дополнительные линейные комбинации величин причем таким образом, чтобы была соблюдена требуемая симметрия кинетических коэффициентов. Легко, однако, видеть, что равенства (121,2) следует оставить неизменными; действительно, эти равенства представляют собой просто следствие определения импульсов (121,1), не имеющего отношения к наличию или отсутствию процессов диссипации. Тем самым устанавливается, что к равенствам (121,3) можно добавить линейные комбинации лишь величин (т. е. производных в противном случае нарушится симметрия кинетических коэффициентов.

Таким образом, получаем систему равенств вида

где постоянные коэффициенты связаны соотношениями

(121,4)

Заменив напишем окончательно:

(121,5)

Это и есть искомая система уравнений движения. Мы видим, что наличие процессов диссипации приводит в рассматриваемом приближении к появлению дополнительных сил трения, линейно зависящих от скоростей движения. Вследствие соотношения (121,4) эти силы можно написать в виде производных по соответствующим скоростям от квадратичной функции

(121,6)

называемой диссипативной функцией. Тогда

Введя функцию Лагранжа можно написать эти уравнения движения в форме

которая отличается от обычной формы уравнений Лагранжа стоящей в правой стороне производной от диссипативной функции.

Наличие трения приводит к уменьшению полной механической энергии движущихся тел. В соответствии с общими результатами § 120 скорость этого уменьшения определяется диссипативной функцией. Ввиду некоторого различия в обозначениях здесь и в § 120, покажем это заново. Имеем

или, подставив (121,7) и имея в виду квадратичность диссипативной функции,

(121.9)

как и должно было быть.

Укажем в заключение, что при наличии внешнего магнитного поля уравнения движения по-прежнему имеют вид (121,5), с той лишь разницей, что вместо (121,4) будет

Благодаря этому, однако, не будет существовать диссипативной функции, производные от которой определяли бы силы трения; поэтому уравнения движения не смогут быть написаны в виде (121,7).