§ 6. Статистическое распределение в квантовой статистике

В квантовой механике можно доказать теорему, аналогичную теореме Лиувилля, полученной в § 3 на основании классической механики.

Для этого выведем предварительно общее квантовомеханическое уравнение, определяющее производную по времени от статистической матрицы любой (замкнутой) системы. Следуя методу, примененному в предыдущем параграфе, предположим сначала, что система находится в чистом состоянии с волновой функцией, представленной в виде ряда (5,1). Ввиду замкнутости системы ее волновая функция будет иметь такой же вид и во все последующие моменты времени, причем только коэффициенты будут теперь функциями времени, пропорциональными множителям . Поэтому имеем

Переход к статистической матрице в общем случае смешанных состояний производится теперь путем замены произведений на .

Таким образом, получаем искомое уравнение

Это уравнение можно переписать в общем операторном виде, заметив, что

где — элементы матрицы гамильтониана Н системы, диагональной в принятом нами энергетическом представлении. Поэтому

(Обратим внимание на то, что это выражение отличается знаком от обычного квантомеханического выражения для оператора производной от величины по времени.)

Мы видим, что для обращения в нуль производной по времени от статистической матрицы, оператор w должен быть коммутативен с гамильтонианом системы. Этот результат и представляет собой квантовомеханический аналог теоремы Лиувилля: в классической механике требование стационарности функции распределения приводит к тому, что w оказывается интегралом движения; коммутативность же оператора какой-либо величины с гамильтонианом как раз и является квантовомеханическим выражением сохраняемости этой величины.

В интересующем нас энергетическом представлении условие стационарности формулируется в особенности просто: как видно из (6,1), матрица должна быть диагональной, — опять-таки в соответствии с обычным матричным выражением квантовомеханической сохраняемости величины (матрица сохраняющейся величины приводится к диагональному виду одновременно с гамильтонианом).

Подобно тому как это было сделано в § 3, мы можем теперь применить полученные результаты к квазизамкнутым подсистемам, рассматривая промежутки времени, в течение которых они ведут себя с достаточной точностью как замкнутые. Поскольку статистические распределения (здесь — статистические матрицы) подсистем должны быть по самому определению статистического равновесия стационарными, то мы, прежде всего, заключаем, что матрицы всех подсистем диагональны.

Задача об определении статистического распределения сводится, следовательно, к вычислению вероятностей которые и представляют собой «функцию распределения» в квантовой статистике. Формула (5,4) для среднего значения какой-либо величины упрощается и гласит:

(6,3)

в нее входят теперь только диагональные матричные элементы Далее, учитывая, что w должно быть квантовомеханическим интегралом движения и используя квазинезависимость подсистем, аналогично выводу формулы (4,5) найдем, что логарифм функции распределения подсистем должен иметь вид

(индекс а отличает различные подсистемы). Таким образом, вероятности могут быть выражены в виде функции только от величины уровня энергии: .

Наконец, полностью сохраняют свою силу все изложенные в § 4 соображения о роли аддитивных интегралов движения, в особенности энергии, как определяющих все статистические свойства замкнутой системы. Это снова дает возможность составить для замкнутой системы простую функцию распределения, пригодную для описания ее статистических свойств, хотя отнюдь и являющуюся (как и в классическом случае) истинной функцией распределения.

Для математической формулировки этого «квантового микроканонического распределения» надо применить следующий прием. Имея в виду «почти непрерывность» энергетического спектра Макроскопических тел, введем понятие о числе квантовых состояний замкнутой системы, «приходящихся» на определенный бесконечно малый интервал значений ее энергии. Обозначим это число посредством Г; оно играет здесь роль, аналогичную роли элемента фазового объема в классическом случае.

Если рассматривать замкнутую систему как состоящую из подсистем, пренебрегая при этом взаимодействием последних, то каждое состояние системы в целом можно характеризовать заданием состояний всех отдельных подсистем, и число представится в виде произведения

чисел квантовых состояний подсистем (таких, чтобы сумма энергий всех подсистем лежала как раз в рассматриваемом интервале значений энергии всей замкнутой системы).

Мы можем теперь сформулировать микроканоническое распределение в виде, аналогичном классическому выражению (4,6), написав для вероятности нахождения системы в каком-либо из состояний следующее выражение:

(6,6)