§ 124. Флуктуационно-диссипационная теорема

Приступим теперь к вычислениям, имеющим целью связать флуктуации величины с введенной в предыдущем параграфе обобщенной восприимчивостью.

Пусть тело, к которому относится величина находится в некотором определенном стационарном состоянии. Среднее значение (122,8) вычисляется как соответствующий диагональный матричный элемент оператора

(124,1)

где суммирование распространяется по всему спектру уровней энергии (ввиду комплексности оператора два члена в квадратных скобках не совпадают друг с другом).

Зависимость оператора от времени означает, что вычисление его матричных элементов должно производиться с помощью зависящих от времени волновых функций. Поэтому имеем

(124,2)

где — обычный, не зависящий от времени матричный элемент оператора выраженного через координаты частиц тела, - частота перехода между состояниями . Таким образом,

(здесь учтено, что ввиду вещественности ). Произведения -функций в квадратных скобках можно, очевидно, переписать в виде

Сравнивая после этого с (122,8), получим следующую формулу:

В связи с формой записи этого выражения сделаем следующее замечание. Хотя уровни энергии макроскопического тела, строго говоря, дискретны, но они расположены так густо, что фактически образуют непрерывный спектр. Формулу (124,3) можно написать без -функций, если усреднить ее по малым (но содержащим все же много уровней) интервалам частот. Если — число уровней энергии, меньших Е, то

(124,4)

где

Предположим теперь, что на тело действует периодическое (с частотой ) возмущение, описывающееся оператором

(124,5)

Под влиянием возмущения система совершает переходы, причем вероятность перехода (в единицу времени) дается формулой

(124,6)

(см. III, § 42). Два члена в этой формуле возникают соответственно из двух членов в (124,5). При каждом переходе система поглощает (или отдает) квант Сумма

дает среднюю энергию, поглощаемую телом (в единицу времени); источником этой энергии является внешнее возмущение, а поглощаясь телом, она диссипируется в нем. Подставив (124,6), получим

или, учитывая, что -функции отличны от нуля лишь при равном нулю аргументе,

Сравнивая (124,7) с (123,11), находим

Вычисленные таким образом величины связаны между собой простым соотношением. Оно выявляется, однако, лишь после того, как эти величины будут выражены через температуру тела. Для этого производим усреднение с помощью распределения Гиббса (ср. примечание на стр. 392). Для имеем

где для краткости обозначено

— уровни энергии тела, F — его свободная энергия. Поскольку суммирование производится теперь по обоим индексам тип, то можно менять их пбозначение. Раскрыв фигурные скобки и заменив во втором члене тип друг на друга, получим

или, ввиду наличия в суммируемом выражении -функции,

Совершенно аналогичным путем получим

Сравнивая друг с другом эти два выражения, найдем

(124,9)

Полный же средний квадрат флуктуирующей величины дается интегралом

(124,10)

Эти важные формулы составляют содержание флуктуационно-диссипационной теоремы (коротко ФДТ), установленной Калленом и Вельтоном (Н. В. Callen, Т. A. Welton, 1951). Они связывают флуктуации физических величин с диссипативными свойствами системы при внешнем воздействии на нее. Обратим внимание на то, что множитель в фигурных скобках в (124,9) представляет

Подобно тому, как это было сделано в конце § 118, полученные результаты можно представить в другом виде, рассматривая формальным образом самопроизвольные флуктуации величины как результат воздействия некоторых фиктивных случайных сил. При этом удобно записывать формулы, вводя фурье-компоненты так как если бы х было классической величиной. Связь между ними записывается в виде

(124,11)

подобном (123,3), после чего для средних квадратичных флуктуаций пишем

или, переходя к спектральным плотностям флуктуаций, согласно определению (122,4):

Для спектральной плотности среднего квадрата случайной силы имеем, следовательно, из (124,9)

Такая трактовка может представить определенные преимущества в конкретных применениях теории.

Вывод ФДТ основан на рассмотрении внешнего воздействия (124,5) как малого возмущения; с малостью воздействия связана также и линейность отклика системы — линейность связи между и силой f. Подчеркнем, однако, что это обстоятельство отнюдь не приводит к появлению каких-либо физических ограничений на допустимые значения средней флуктуации самой величины Малость воздействия всегда может быть обеспечена сколь угодной малостью вспомогательной величины не фигурирующей в окончательной формулировке ФДТ. Таким образом, для рассматриваемой категории физических величин свойства их флуктуаций (в термодинамически равновесной системе) полностью определяются свойствами отклика системы на сколь угодно слабое внешнее воздействие.

При температурах имеем и формула (124,9) принимает вид

(124,13)

Из нее выпадает квантовая постоянная в соответствии с тем, что в этих условиях флуктуации классичны.

Если неравенство справедливо при всех существенных частотах (частоты, для которых существенно отлично от нуля), то к классическому пределу можно перейти и в интегральной формуле (124,10):

Но согласно (123,17) этот интеграл выражается через статическое значение так что.

(124,14)

Остановимся, наконец, на связи изложенных результатов с теорией квазистационарных флуктуаций (§ 118).

Прежде всего заметим, что если величина такова, что ее флуктуации малы в подразумевавшемся смысле (т. е. допустимо разложение энтропии (110,3)), то средний квадрат . Сравнение с (124,14) показывает, что для такой величины

(124,15)

Пусть далее относится к категории величин, флуктуации которых квазистационарны. Предположим, что тело подвергается воздействию статической силы f. Это приводит к смещению состояния равновесия, в котором уже отлично от нуля и равно Макроскопическое уравнение, описывающее релаксацию далекой от равновесия системы, будет тогда иметь вид

(124,16)

отличающийся от уравнения тем, что скорость обращается в нуль не при а при

Уравнение (124,16) можно считать применимым и в случае, когда тело подвержено воздействию зависящего от времени возмущения, если только период изменения силы велик по сравнению со временем установления неполного равновесия (отвечающего каждому заданному значению ).

Если — периодическая (с частотой ) функция времени, то с той же частотой будет меняться и макроскопическое значение Подставив в уравнение (124,16) в виде (123,8-9) и отделив в нем члены, содержащие , получим

откуда

(124,17)

Согласно ФДТ (124,9) находим теперь

(124,18)

Этот результат обобщает формулу (122,9), относящуюся к флуктуациям классической величины. Выражение (124,18) отличается от (122,9) множителем

(124,19)

обращающимся в единицу в классическом пределе, когда Уравнение (124,16) можно рассматривать и в другом аспекте: не как макроскопическое, уравнение движения далекой от равновесия системы (находящейся под внешним воздействием), а как уравнение для флуктуаций величины в равновесной замкнутой системе, происходящих под влиянием случайной силы f. В такой интерпретации оно отвечает уравнению (118,9), так что оба определения случайной силы отличаются лишь множителем: Для спектральной плотности найдем, подставив (124,17) в (124,12):

(124,20)

что отличается от прежнего выражения (122,10) тем же множителем (124,19).