§ 122. Спектральное разложение флуктуаций

Введем спектральное разложение флуктуирующей величины по обычным формулам разложения Фурье:

(122,1)

и обратно

(122,2)

Следует заметить, что интеграл (122,1) фактически расходится, поскольку не стремится к нулю при .

Это обстоятельство, однако, несущественно для дальнейших формальных выводов, имеющих целью вычисление заведомо конечных средних квадратов.

Подставляя (122,2) в определение корреляционной функции (118,1), получим

(122,3)

Для того чтобы интеграл в правой стороне равенства был функцией только от разности , подынтегральное выражение должно содержать -функцию от т. е. должно быть

(122,4)

Это соотношение надо рассматривать как определение величины, обозначенной здесь символически посредством Хотя величины комплексны, но очевидно, вещественны. Действительно, выражение (122,4) отлично от нуля лишь при и симметрично по отношению к перестановке и поэтому , а перемена знака со эквивалентна переходу к комплексно-сопряженным величинам.

Подставляя (122,4) в (122,3) и исключая -функцию интегрированием по находим

(122,5)

В частности, есть средний квадрат флуктуирующей величины:

Мы видим, что спектральная плотность среднего квадрата флуктуации как раз совпадает с величиной если интеграл распространен только на положительные частоты). Эта же величина является, согласно (122,5), и компонентой Фурье корреляционной функции. Обратно:

(122,7)

В написанных формулах величина предполагалась классической. В случае квантовой величины разложение (122,1-2) должно относиться к зависящему от времени оператору а определение спектральной плотности записывается (вместо (122,4)) в виде

(122,8)

Для корреляционной функции квазистационарных флуктуаций одной величины в § 118 было получено выражение (118,8). Элементарное интегрирование дает следующий результат для ее спектрального разложения:

В соответствии с физическим смыслом приближения, отвечающего квазистационарным флуктуациям, это выражение применимо лишь для частот, малых по сравнению с обратным временем неполного равновесия.

В терминах введенной в конце § 118 случайной силы у временная зависимость флуктуирующей величины описывается уравнением Умножив его на и проинтегрировав по в пределах от до (причем член интегрируется по частям), получим Отсюда ясно, что надо положить

(122,10)

Это выражение можно, конечно, получить и прямо из (118,10). Наличию -функции в (118,10) отвечает в (122,10) независимо от .

Написанные формулы непосредственно обобщаются на флуктуации одновременно нескольких термодинамических величин . Соответствующие корреляционные функции были определены в § 119. Компоненты их спектрального разложения определяются как

а вместо (122,4) имеем

(122,12)

(в обозначении порядок множителей существен!).

Изменение знака времени эквивалентно замене <а в спектральном разложении, а эта замена в свою очередь означает комплексное сопряжение величин Поэтому равенство означает, что

(122,13)

Симметрия же флуктуаций по отношению к обращению времени, выражающаяся равенствами (119,3) или (119,4), в терминах спектрального разложения записывается как

(122,14)

где знаки или — относятся соответственно к случаям, когда сами величины ведут себя одинаково или по-разному по отношению к обращению времени; в первом случае, следовательно, величина вещественна и симметрична по индексам i, k, а во втором — мнима и антисимметрична.

В § 119 была написана система уравнений (119,8), которой подчиняются корреляционные функции квазиетационарных флуктуаций. Эти уравнения легко решаются с помощью спектрального разложения.

Поскольку уравнения (119,8) относятся только к временам производим над ними «одностороннее» преобразование Фурье: умножаем уравнения на и интегрируем по в пределах от 0 до При этом член интегрируется по частям; учитывая, что получим

где введено обозначение

(122,15)

Значение определяется «начальным условием» (119,9); поэтому

или

где вместо коэффициентов введены более удобные (ввиду их симметрии) кинетические коэффициенты (см. (120,13)). Решение этой алгебраической системы уравнений

где —1 в показателе означает взятие обратной матрицы.

С другой стороны, интересующие нас компоненты спектрального разложения (122,11) выражаются через компоненты «одностороннего» разложения (122,15) равенствами

(122,16)

в этом легко убедиться, представив интеграл от до в виде суммы двух интегралов (от до 0 и от 0 до ), заменив в первом из них и воспользовавшись свойством симметрии (119,2). Таким образом, окончательно находим

(122,17)

В силу свойств симметрии матриц величины (122,17) автоматически обладают свойствами (122,13) или (122,14).

Полученные результаты можно представить в другом виде, введя в релаксационные уравнения «случайные силы» подобно тому, как это было сделано в конце § 118 для одной флуктуирующей величины. При этом корреляционные свойства этих сил фурмулируются в особенно простом виде, если ввести их в уравнения, записанные с помощью термодинамически взаимных величин как это сделано в (120,5) или (120,13). Так, введя случайные силы в уравнения (120,13), запишем их в виде

(122,18)

величинами можно пренебречь, когда становятся больше своих средних флуктуаций. Аналогично тому, как это было сделано при выводе (122,10), получим после простого вычисления следующую формулу для спектрального разложения корреляционных функций случайных сил:

(122,19)

Как и в (122,10), эти величины не зависят от частоты.

Если же ввести случайные силы в уравнении (120,5):

(122,20)

то для их корреляционной функции получится аналогичная формула

(122,21)

Эта формула очевидна без новых вычислений, если снова вспомнить о взаимном характере соответствия между величинами и (см. примечание на стр. 367).

Преимущество формул (122,19) и (122,21) состоит в том, что в них входят компоненты самих матриц , а не обратных им.

В качестве примера применения полученных формул рассмотрим флуктуации одномерного осциллятора. Другими словами, рассмотрим тело, покоящееся в равновесном положении но способное совершать малые колебания по некоторой макроскопической координате Q. Благодаря флуктуациям координата Q будет в действительности испытывать отклонения от значений Средний квадрат этого отклонения определяется непосредственно по коэффициенту в квазиупругой силе, действующей на тело при его отклонении.

Напишем потенциальную энергию осциллятора в виде

где — его «масса» (т. е. коэффициент пропорциональности между обобщенным импульсом Р и скоростью ), а - частота свободных колебаний (в отсутствие трения). Тогда средняя квадратичная флуктуация (ср. задачу 7, § 112) будет равна

(122,22)

Спектральное разложение флуктуаций координаты произведем для общего случая, когда колебания осциллятора сопровождаются трением.

Уравнения движения осциллятора с трением гласят:

(122,23)

где есть сила трения. Как было объяснено в § 121, если рассматривать Q и Р как величины то соответствующими будут: Уравнения (122,23-24) играют при этом роль соотношений так что

Чтобы применить эти уравнения к флуктуациям, переписываем (122,24) в виде

(122,25)

введя в его правую часть случайную силу у.

Уравнение же (122,23), являющееся определением импульса, следует оставить неизменным. Согласно формуле (122,21) непосредственно находим спектральную плотность флуктуаций случайной силы:

(122,26)

Наконец, для нахождения искомого пишем, подставив в (122,25):

(122,27)

Умножив это уравнение на и интегрируя по времени, найдем

откуда окончательно

(122,28)