§ 30. Распределение вероятностей для осциллятора

Рассмотрим тело, атомы которого совершают малые колебания относительно некоторых положений равновесия. Речь может идти о колебаниях атомов кристалла или о колебаниях атомов в молекулах газа (в последнем случае движение молекулы как целого не влияет на колебания атомов в ней и не сказывается на результатах).

Как известно из механики, функция Гамильтона (энергия) системы, состоящей из произвольного числа частиц, совершающих малые колебания, может быть представлена в виде суммы

где — так называемые нормальные координаты колебаний (вточках равновесия ), — соответствующие им обобщенные импульсы, а — частоты колебаний. Другими словами, распадается на сумму независимых членов, каждый из которых соответствует отдельному нормальному колебанию (или, как говорят, осциллятору). В квантовой механике то же самое имеет место для оператора Гамильтона системы, так что каждый осциллятор квантуется независимо, и уровни энергии системы представляются суммами

( — целые числа).

В силу этих обстоятельств распределение Гиббса для системы в целом распадается на произведение независимых множителей, каждый из которых определяет статистическое распределение для отдельного осциллятора. На этом основании мы рассматриваем ниже отдельный осциллятор.

Определим распределение вероятностей для координаты q осциллятора (индекс а, указывающий номер осциллятора, в дальнейшем везде опускаем).

В классической статистике этот вопрос решался бы совсем просто: поскольку потенциальная энергия осциллятора есть распределение вероятностей дается формулой

или, определяя А из условия нормировки,

(интегрирование по можно производить ввиду быстрой сходимости интеграла в пределах от — до ).

Обратимся к решению поставленной задачи в квантовом случае. Пусть (-волновые функции стационарных состояний осциллятора, соответствующие уровням энергии

Если осциллятор находится в состоянии, то квантовомеханическое распределение вероятностей для его координаты определяется квадратом (в данном случае функции вещественны, и поэтому мы пишем просто вместо квадрата модуля ). Искомое статистическое распределение вероятностей получится, если умножить на вероятность найти осциллятор в состоянии, а затем суммировать по всем возможным состояниям. Согласно распределению Гиббса имеет вид

где а — постоянная. Таким образом, получаем формулу

которая находится, разумеется, в полном соответствии с общей формулой (5,8).

Для вычисления стоящей здесь суммы можно применить следующий прием. Вводим обозначение и составляем производную

Введя оператор импульса и помня, что импульс осциллятора имеет отличные от нуля матричные элементы лишь для переходов с (см. III, § 23), пишем:

(использованы соотношения

между матричными элементами импульса и координаты). Таким образом, имеем

В первой сумме меняем обозначение индекса суммирования и, принимая во внимание соотношения

находим

Аналогичным образом найдем равенство

Сравнив оба равенства, получим уравнение

откуда

Определяя постоянную из условия нормировки, получим окончательно следующую формулу (F. Bloch, 1932):

Таким образом, и в квантовом случае вероятности различных значений координаты осциллятора распределены по закону вида , но с другим по сравнению с классической статистикой значением коэффициента а. В предельном случае , когда квантование уже не играет роли, формула (30,3), как и следовало, переходит в (30,1).

В обратном предельном случае формула (30,3) переходит в

т. е. в чисто квантовое распределение вероятностей координаты в нормальном состоянии осциллятора.

Это соответствует тому, что при колебания осциллятора практически не возбуждены.

Распределение вероятностей для импульса осциллятора можно написать по аналогии с (30,3), не проводя вычислений заново. Дело в том, что задача о квантовании осциллятора полностью симметрична в отношении координаты и импульса, и волновые функции осциллятора в -представлении совпадают с его обычными координатными волновыми функциями (с заменой q на ; см. III, § 23, задача 1). Поэтому искомое распределение есть

В классическом предельном случае оно переходит в обычное распределение Максвелла

Задача

Определить координатную матрицу плотности гармонического осциллятора.

Решение. Координатная матрица плотности осциллятора, отвечающая статистическому равновесию, определяется формулой

(ср. примечание на стр. 31). Положим и вычислим производную Подобно аналогичному вычислению в тексте, получим

Вычислив таким же образом величину и сравнив с найденной производной, получим

откуда

Функция определяется требованием, чтобы при «диагональные элементы» матрицы плотности совпадали с (30,3). Окончательно: