§ 137. Структуры с одно- и двумерной периодичностью

Характерной особенностью твердых кристаллов является трехмерная периодичность функции плотности , простирающаяся на неограниченные расстояния. Рассмотрим вопрос о возможности существования в природе тел, у которых функция плотности была бы периодична лишь в одном или двух измерениях (R. Peierts, 1934; Л. Д. Ландау, 1937).

Так, тело с можно было бы представлять себе как состоящее из правильным образом расположенных друг относительно друга параллельных плоскостей (перпендикулярных к оси ), в каждой из которых, однако, атомы расположены беспорядочным образом. При атомы были бы расположены беспорядочным образом вдоль линий (параллельных оси ), в то время сами эти линии располагались бы правильным образом друг относительно друга.

Для исследования поставленного вопроса рассмотрим смещения, испытываемые малыми участками тела в результате тепловых флуктуаций. Ясно, что если такие смещения будут неограниченно возрастать с увеличением размеров тела, то это автоматически приведет к «размыванию» функции , т. е. возникнет противоречие со сделанным предположением. Другими словами, могут осуществляться лишь такие структуры, для которых среднее смещение остается конечным при сколь угодно больших размерах тела.

Проверим прежде всего, что это условие выполняется для обычного кристалла. Обозначим посредством вектор флуктуационного смещения малого участка с координатами х, у, z и представим его в виде ряда Фурье

(137,1)

причем компоненты вектора к пробегают как положительные, так и отрицательные значения, а коэффициенты связаны соотношениями следующими из вещественности и в ряде (137,1) будут присутствовать лишь члены с не слишком большими волновыми векторами , где d — линейные размеры смещающегося участка).

Будем рассматривать флуктуации при постоянной температуре; их вероятность определяется тогда формулой

(137,2)

где

(137,3)

есть изменение полной свободной энергии тела при флуктуации, a F обозначает теперь свободную энергию, отнесенную к единице объема тела (ср. (116,7)).

Для вычисления надо разложить по степеням смещения. При этом в разложение войдут не сама функция и , а лишь ее производные, поскольку разность должна обращаться в нуль при u = const, что соответствует простому смещению тела как целого. Далее очевидно, что линейных по производным членов в разложении не может быть: в противном случае F не могло бы иметь минимума при Далее вследствие малости волновых векторов к в разложении свободной энергии можно ограничиться членами, квадратичными по первым производным от , пренебрегая членами, содержащими производные высших порядков. В результате найдем, что имеет вид

(137,4)

где элементы вещественного тензора -тензорные индексы, по которым подразумевается суммирование) - квадратичные функции компонент вектора

Согласно (111,9) находим отсюда для средних квадратичных флуктуаций фурье-компонент вектора смещения

(137,5)

где — компоненты тензора, обратного тензору . Для большей наглядности представим это выражение в виде

(137,6)

где величины зависят только от направления вектора к ().

Средние значения получаются из (137,6) суммированием по к; перейдя обычным образом от суммирования по к к интегрированию, получим, например, для среднего квадрата вектора смещения

Этот интеграл сходится на нижнем пределе как первая степень . Таким образом, средний квадрат флуктуационного смещения оказывается, как и следовало, конечной величиной, не зависящей от объема тела.

Рассмотрим далее тело с функцией плотности . Поскольку в направлениях осей в таком теле , то никакое смещение вдоль этих осей не может «размазать» функцию плотности, а потому не представляет для нас интереса. Надо, следовательно, рассмотреть только смещение их. Далее легко видеть, что первые производные вообще не могут входить в разложение свободной энергии: если повернуть тело как целое вокруг оси у или , то эти производные изменятся, между тем как свободная энергия должна, очевидно, остаться неизменной. Таким образом, в разложении надо рассмотреть следующие квадратичные по смещению члены:

(производные по должны входить в симметричной комбинации ввиду полной симметрии в плоскости ). При подстановке в (137,3) они дадут соответственно члены вида

где . Хотя последние два выражения содержат более высокие степени компонент волнового вектора, чем первое, но они могут быть одинакового порядка величины с ним, поскольку об относительной величине заранее ничего не известно.

Таким образом, изменение свободной энергии будет иметь вид

где — квадратичная функция переменных . Вместо (137,7) будем теперь иметь

Но этот интеграл логарифмически расходится при Расходимость среднего квадрата смещения означает, что точка, к которой относится определенное значение может смещаться на очень большие расстояния; другими словами, плотность «размажется» по всему телу, так что никакая функция (кроме тривиальной ) не оказывается возможной.

Аналогичные рассуждения в случае тела с приводят к следующему выражению для средних квадратов смещения:

где снова — квадратичная функция своих аргументов. Этот интеграл, как легко видеть, сходится на нижнем пределе, так что среднее флуктуационное смещение остается конечным. Таким образом, тела с такой структурой могли бы в принципе существовать; неизвестно, однако, существуют ли они фактически в природе.

До сих пор в этом параграфе речь шла о трехмерных телах, и лишь упорядоченность расположения атомов в них предполагалась двух- (или одно-) мерной. Рассмотрим теперь вопрос о возможности упорядоченного расположения атомов в двумерных системах с атомами, заполняющими лишь некоторую поверхность. Двумерным аналогом обычных твердых кристаллов являлась бы пленка, в которой атомы расположены правильным образом в узлах плоской решетки. Это расположение могло бы быть описано функцией плотности (имеющей теперь другой по сравнению с рассмотренным выше случаем смысл, так как рассматриваются только атомы на одной поверхности ). Легко, однако, видеть, что тепловые флуктуации «размывают» такой кристалл, так что единственной возможностью оказывается . Действительно, средние значения произведений компонент флуктуационного смещения и (в плоскости определяются снова формулами вида (137,6—7) с той разницей, что интегрирование будет теперь производиться по двумерному -пространству:

(137,11)

и интеграл логарифмически расходится при

Здесь необходимо, однако, сделать следующую оговорку. Полученный результат означает лишь, строго говоря, что флуктуационное смещение обращается в бесконечность при неограниченном возрастании размеров (площади) двумерной системы (что допускает рассмотрение сколь угодно малых значений волнового вектора).

Но ввиду медленного (логарифмического) характера расходимости интеграла размеры пленки, при которых флуктуации остаются еще малыми, могут оказаться довольно большими. В таких случаях пленка конечных размеров могла бы практически проявлять «твердо-кристаллические» свойства, и для нее можно было бы приближенно говорить о двумерной решетке. Мы увидим в следующем параграфе, что эти свойства двумерных систем еще усиливаются при понижении температуры.