Задачи

1. Два одинаковых идеальных газа с одинаковыми давлениями Р и числом частиц N, но с разными температурами и находятся в сосудах с объемами и . Затем сосуды соединяются. Найти изменение энтропии.

Решение. До соединения сосудов энтропия обоих газов (равная сумме их энтропий) была согласно После соединения сосудов температуры газов выравниваются. Сумма энергий обоих газов остается постоянной. Пользуясь выражением энергии, находим

(Т — температура после выравнивания).

После соединения сосудов газ имеет частиц и занимает объем Его давление теперь равно , т. е. остается тем же. Энтропия при этом равна

Изменение энтропии

2. Найти работу, производимую над идеальным газом при адиабатическом сжатии.

Решение. При адиабатическом процессе количество тепла так что где — изменение энергии при процессе. Согласно (43,2) находим: где — температуры газа после и до процесса; R можно выразить через начальный и конечный объемы и , пользуясь соотношением (43,9):

3. Найти количество тепла, получаемого газом при процессе, происходящем при постоянном объеме (изохорном).

Решение. Поскольку в данном случае работа , то имеем

4. Найти работу и количество тепла при процессе, происходящем при постоянном давлении (изобарном).

Решение. При постоянном давлении имеем

откуда

5. Найти работу, совершаемую над газом, и количество тепла, получаемое им при сжатии от объема до объема , согласно уравнению (политропический процесс).

Решение. Работа

Поскольку сумма количества тепла и работы равна полному изменению энергии, имеем: и так как то

6. Найти работу, производимую над идеальным газом, и количество тепла, получаемое им, когда газ совершает круговой процесс (т. е. после процесса возвращается в исходное состояние), состоящий из двух изохорных и двух изобарных процессов: газ переходит из состояния с давлением и объемом в состояние с , далее в состояние с , далее с и, наконец, опять

Решение. Изменение энергии при круговом процессе равно нулю, так как исходное состояние совпадает с конечным. Поэтому работа и количество тепла, получаемые при таком процессе, равны друг другу с обратными знаками Для того чтобы найти R в данном случае, замечаем, что при изохорных процессах работа равна нулю, а при двух изобарных, соответственно, — Таким образом,

7. То же для кругового процесса, состоящего из двух изохорных и двух изотермических (последовательные состояния газа имеют объем и температуру:

Решение.

8. То же для цикла из двух изотермических и двух адиабатических процессов (последовательные состояния имеют энтропию, температуру и давление:

Решение.

9. То же для цикла из двух изобарных и двух изотермических процессов (последовательные состояния: .

Решение. Работа, произведенная над газом при изобарных процессах, равна (см. задачу ), а при изотермических Сумма их равна 2

10. То же для цикла из двух изобарных и двух адиабатических процессов (последовательные состояния газа:

Решение. Температура во втором состоянии есть а в четвертом (их можно найти из с помощью соотношения (43,7)). Количество тепла, получаемое газом при адиабатических процессах, равно нулю, а при изобарных (см. задачу 4)

Таким образом,

11. То же для цикла из двух изохорных и двух адиабатических процессов (последовательные состояния:

Решение. С помощью результата задачи 2 находим

12. Определить максимальную работу, которую можно получить при соединении сосудов с двумя одинаковыми идеальными газами, имеющими одинаковые температуру и число частиц N, но разные объемы

Решение. Максимальная работа совершается, если процесс происходит обратимо, т. е. остается постоянной энтропия; при этом работа равна разности энергий до и после процесса (§ 19). До соединения сосудов энтропия обоих газов, равная сумме их энтропий, была, согласно (43,5)

После соединения сосудов мы имеем газ, состоящий из частиц, занимающий объем при некоторой температуре Т. Его энтропия

Из условия находим температуру Т:

Энергия обоих газов до соединения сосудов была После соединения Поэтому максимальная работа

13. То же, что в предыдущей задаче, если до соединения сосудов газы имели одинаковое давление и разные температуры

Решение. Аналогично решению задачи 12 находим

14. Найти минимальную работу, которую надо произвести над идеальным газом для того, чтобы сжать его от давления до давления при постоянной температуре, равной температуре среды

Решение. Согласно (20,2) минимальная работа где индексы 1 и 2 показывают, что величины относятся к газу до и после сжатия. В данном случае энергия Е не меняется (так как температура постоянна), т. е. Пользуясь (43,6), находим изменение энтропии при изменении давления от до изменение же объема: Отсюда находим

15. Определить максимальную работу, которую можно получить с помощью идеального газа при охлаждении от температуры Т до температуры среды при постоянном объеме.

Решение. По общей формуле (20,3) находим

16. То же для газа, охлаждающегося от температуры Т до температуры среды и в то же время расширяющегося так, что его давление меняется от Р до давления среды

Решение.

17. Из большого теплоизолированного резервуара газ с температурой вытекает в пустой теплоизолированный сосуд, причем давление газа в резервуаре поддерживается постоянным. Найти изменение температуры газа в этом процессе.

Решение. Энергия Е газа в сосуде складывается из энергии которую он имел в резервуаре, и работы, произведенной над ним при «изгнании» из резервуара. Поскольку состояние газа в резервуаре можно считать стационарным, мы получаем условие § 18). Отсюда температура газа в сосуде