§ 58. Теплоемкость вырожденного электронного газа

При температурах, низких по сравнению с температурой вырождения , функция распределения (57,4) имеет вид, изображенный на рис. 6 пунктирной линией: она заметно отлична от единицы или нуля лишь в узком интервале значений энергии , близких к граничной энергии . Ширина этой, как говорят, зоны размытости распределения Ферми—порядка величины Т.

Выражения (57,6-7) представляют собой первые члены разложения соответствующих величин по степеням малого отношения Т/ТР. Определим следующие члены этого разложения.

В формулу (56,6) входит интеграл вида

где некоторая функция (такая, что интеграл сходится); в . Преобразуем этот интеграл, сделав подстановку :

В первом интеграле пишем

и находим

Во втором интеграле заменяем верхний предел бесконечностью, имея в виду, что а интеграл быстро сходится. Таким образом, получим

Разлагаем теперь числитель подынтегрального выражения во втором интеграле в ряд Тэйлора по степеням z и интегрируем почленно:

Подставляя значения интегралов, имеем окончательно

Третий член разложения приведен для справок; здесь он нам не понадобится.

Полагая в формуле и подставляя в (56,6), получим искомый следующий член разложения потенциала при низких температурах:

Посредством обозначена величина при абсолютном нуле температуры.

Рассматривая второй член как малую добавку к и выражая в нем через с помощью «нулевого приближения» (57,5), мы можем непосредственно написать выражение для свободной энергии (согласно теореме о малых добавках (24,16)):

где мы ввели для краткости обозначение

Отсюда находим энтропию газа

его теплоемкость

и энергию

Таким образом, теплоемкость вырожденного ферми-газа при низких температурах пропорциональна первой степени температуры.

§ 59. Магнетизм электронного газа. Слабые поля

Намагниченность электронного газа в слабых магнитных полях складывается из двух независимых частей: из парамагнитной намагниченности, связанной с собственным (спиновым) магнитным моментом электронов (парамагнетизм Паули, W. Pauli, 1927) и из диамагнитной намагниченности, связанной с квантованием орбитального движения электронов в магнитном поле (диамагнетизм Ландау, 1930). Вычислим соответствующие магнитные восприимчивости, предполагая газ вырожденным: температура Условие слабости магнитного поля означает, что должно быть (см. ниже) где — -магнетон Бора.

Для вырожденного газа термодинамические вычисления удобнее производить в независимых переменных Т, V, (я (вместо переменных Т, V, N). Соответственно этому вместо формулы (52,1), использованной при вычислении магнитного момента больцмановского газа, здесь мы будем вычислять его как производную

от термодинамического потенциала .

Определим сначала парамагнитную часть восприимчивости. Дополнительная (спиновая) энергия электрона в магнитном поле равна , где два знака отвечают двум значениям проекции спина на направление поля. Статистическое распределение электронов в магнитном поле отличается, следовательно, от распределения в отсутствие поля заменой энергии на . Но поскольку входит в распределение в комбинации с химическим потенциалом, то эта замена эквивалентна замене на Поэтому потенциал Q электронного газа в магнитном поле может быть представлен в виде

где - потенциал в отсутствие поля (аргументы Т, V для краткости не выписываем); два члена в этой сумме отвечают совокупностям электронов с различными проекциями спина, а множители 1/2 учитывают уменьшение вдвое числа квантовых состояний электрона при фиксировании значения проекции его спина.

Произведя в (59,2) разложение по степеням получим

откуда магнитный момент Но производная , так что парамагнитная восприимчивость, которую в этом параграфе относим к единице объема газа:

Пренебрегая малым (при ) температурным эффектом, т. е. считая газ полностью вырожденным, имеем из (57,3)

и дифференцирование дает

Обратимся к вычислению диамагнитной восприимчивости. Уровни энергии орбитального движения электрона в магнитном поле даются выражением

где — импульс в направлении поля — пробегает непрерывный ряд значений от до (см. III, § 112). При этом число состояний в интервале при каждом заданном значении есть

где множитель 2 учитывает два направления спина. Выражение (53,4) для потенциала принимает вид

Сумму (59,8) можно вычислить с требуемой точностью с помощью формулы

(59,10)

Условие применимости этой формулы состоит в малости относительного изменения функции F на одном шаге 1). В применении к функции (59,9) оно сводится к требованию Применив (59,10) к сумме (59,8), получим

Первый член не содержит Н, т. е. представляет собой потенциал газа в отсутствие поля. Таким образом,

(59,11)

и отсюда восприимчивость

(59,12)

В целом газ парамагнитен с восприимчивостью . Мы произвели здесь вычисление обеих ее частей по отдельности с целью уяснения их происхождения. Разумеется, можно было бы вычислять также и сразу суммарную восприимчивость

Для этого надо было бы писать уровни энергии электронов в виде , получающемся прибавлением к (59,6) спиновой магнитной энергии . Эту совокупность значений можно представить и как

(59,13)

причем каждое значение с встречается дважды, а с один раз; другими словами, плотность числа состояний с дается той же формулой (59,7), а для она вдвое меньше. Потенциал Q определится тогда суммой

(59,14)

а для ее вычисления надо воспользоваться формулой

(59,15)