§ 78. Термодинамические величины классической плазмы

Изложенный в § 75 метод вычисления термодинамических величин неидеального газа заведомо непригоден для газа, состоящего из заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона, так как в этом случае входящие в формулы интегралы расходятся. Поэтому такой газ требует особого рассмотрения.

Рассмотрим полностью ионизованный газ (плазма). Заряды его частиц будем обозначать посредством , где индекс а отличает различные сорта ионов (е — элементарный заряд, — положительные и отрицательные целые числа). Пусть далее есть число ионов сорта в единице объема газа. Газ в целом, разумеется, электрически нейтрален, т. е.

Будем считать, что газ слабо отклоняется от идеальности. Для этого во всяком случае необходимо, чтобы средняя энергия кулоновского взаимодействия двух ионов , где среднее расстояние между ионами) была мала по сравнению со средней кинетической энергией ионов Таким образом, должно быть или

Ввиду электронейтральности плазмы среднее значение энергии кулоновского взаимодействия ее частиц, если бы все они были равномерно распределены в пространстве независимо друг от друга, обратилось бы в нуль. Поэтому первые поправки в термодинамических величинах плазмы (по сравнению с их значениями в идеальном газе) возникают только при учете корреляции между положениями различных частиц. С целью напоминать об этом обстоятельстве, будем называть эти поправки корреляционными.

Начнем с определения поправки в энергии плазмы. Как известно из электростатики, энергия электрического взаимодействия системы заряженных частиц может быть написана в виде половины суммы произведений зарядов на потенциалы поля, создаваемого в точках их нахождения всеми остальными зарядами. В данном случае

где — потенциал поля, действующего на ион а-го сорта со стороны остальных зарядов. Для вычисления этих потенциалов поступим следующим образом.

Каждый из ионов создает вокруг себя некоторое (в среднем сферически - симметричное) неравномерно заряженное ионное облако. Другими словами, если выбрать какой-либо из ионов в газе и рассматривать плотность распределения остальных ионов относительно данного, то эта плотность будет зависеть только от расстояния от центра. Обозначим плотность распределения ионов (а-го сорта) в этом ионном облаке посредством . Потенциальная энергия каждого иона а-го сорта в электрическом поле вокруг данного иона есть , где — потенциал этого поля. Поэтому, согласно формуле Больцмана (38,6), имеем

Постоянный коэффициент положен равным так как вдали от центра (где ) плотность ионного облака должна переходить в среднюю ионную плотность в газе.

Потенциал поля в ионном облаке связан с плотностью зарядов в нем (равной ) электростатическим уравнением Пуассона

Формулы (78,4-5) составляют вместе систему уравнений самосогласованного электрического поля электронов и ионов.

При сделанном нами предположении об относительной слабости взаимодействия ионов энергия мала по сравнению с Т, и формулу (78,4) можно написать приближенно в виде

Подставив это выражение в (78,5) и имея в виду условие (78,1) нейтральности газа в целом, получим уравнение

где введено обозначение

Величина и имеет размерность обратной длины.

Центрально-симметричное решение уравнения (78,7) есть

В непосредственной близости от центра поле должно переходить в чисто кулоновское поле данного заряда (величину которого обозначим как ). Другими словами, при достаточно малых должно быть поэтому надо положить , так что искомое распределение потенциала дается формулой

Отсюда видно, кстати, что поле становится очень малым на расстояниях, больших по сравнению с . Поэтому длину можно рассматривать как определяющую размеры ионного облака, создаваемого данным ионом (ее называют также дебаевским радиусом). Все производимые здесь вычисления, конечно, предполагают, что этот радиус велик по сравнению со средними расстояниями между ионами (это условие совпадает, очевидно, с условием (78,2)).

Разлагая потенциал (78,9) в ряд при малых найдем

Опущенные члены обращаются при в нуль. Первый член есть кулоново поле самого данного иона. Второй же член есть, очевидно, потенциал, создаваемый всеми остальными ионами облака в точке нахождения данного иона; это и есть та величина, которая должна быть подставлена в формулу (78,3): .

Таким образом, мы получаем следующее выражение для корреляционной части энергии плазмы:

(78,10)

или, вводя полные числа различных ионов в газе :

Эта энергия обратно пропорциональна квадратному корню из температуры и из объема газа.

Интегрируя термодинамическое соотношение можно найти из соответствующую добавку к свободной энергии:

(постоянную интегрирования надо положить равной нулю, так как при должно быть ). Отсюда давление

где . Термодинамический потенциал Ф можно получить из F с помощью теоремы о малых добавках (как это было сделано и в § 74), т. е. рассматривая второй член в (78,12) как малую добавку к и выразив ее с нужной точностью через переменные :