§ 34. Распределение Гиббса для вращающихся тел

Вопрос о термодинамических соотношениях для вращающихся тел рассматривался уже в § 26. Выясним теперь, каким образом должно быть сформулировано для вращающихся тел распределение Гиббса; этим будет полностью исчерпан вопрос об их статистических свойствах. Что касается равномерного поступательного движения, то в силу принципа относительности Галилея оно, как уже указывалось в § 26, влияет на статистические свойства лишь тривиальным образом и потому не нуждается в особом рассмотрении.

В системе координат, вращающейся вместе с телом, справедливо обычное распределение Гиббса; в классической статистике

где - энергия тела в этой системе как функция координат и импульсов его частиц, a - свободная энергия в этой же системе (отнюдь не совпадающая, однако, со свободной энергией покоящегося тела!). Энергия связана с энергией в неподвижной системе соотношением

где — угловая скорость вращения, а — момент импульса тела (см. § 26). Подставляя (34,2) в (34,1) найдем распределение Гиббса для вращающегося тела в виде

В классической статистике распределение Гиббса для вращающегося тела можно представить и в другом виде. Для этого воспользуемся следующим выражением для энергии тела по вращающейся системе координат:

где - скорости частиц относительно вращающейся системы, а — их радиусы-векторы (см. I, § 39). Обозначив посредством

не зависящую от Q часть энергии, получим распределение Гиббса в виде

Функция определяет вероятность, отнесенную к элементу фазового пространства где - импульсы частиц тела (см. I, § 39). Поскольку при нахождении дифференциалов импульсов координаты должны считаться [постоянными, то и мы можем написать распределение вероятностей, выраженное через координаты и скорости частиц:

где посредством С мы обозначили для краткости множитель вместе с произведением масс частиц, возникающим при переходе от дифференциалов импульсов к дифференциалам скоростей

Для неподвижного тела мы имели бы

(34,7)

с тем же самым выражением (34,5) для - теперь как функции от скоростей в неподвижной системе координат. Таким образом, мы видим, что распределение Гиббса по координатам и скоростям для вращающегося тела отличается от распределения для неподвижного тела только дополнительной потенциальной энергией, равной

Другими словами, для статистических свойств тела вращение оказывается эквивалентным появлению некоторого внешнего поля, соответствующего центробежным силам. Кориолисовы же силы не влияют на эти свойства.

Необходимо, однако, подчеркнуть, что последний результат относится только к классической статистике. В квантовом случае для вращающегося тела справедливо выражение

для статистического оператора, аналогичное выражению (34,3). Формально можно привести этот оператор к виду, соответствующему (34,6), причем скорости v заменятся операторами

Однако компоненты этого векторного оператора уже не будут коммутировать друг с другом, как это имеет место для оператора v скорости в неподвижной системе; поэтому статистические операторы, соответствующие выражениям (34,6) и (34,7), будут, вообще говоря, существенно отличаться друг от друга, даже помимо присутствия в одном из них центробежной энергии.