§ 72. Операторы рождения и уничтожения фононов

Покажем теперь, каким образом введенные в предыдущем параграфе понятия появляются при последовательном проведении квантования колебаний решетки. Получающиеся при этом формулы имеют и самостоятельное значение, — на них основана математическая техника для изучения элементарных актов взаимодействия фононов.

Произвольное колебательное движение кристаллической решетки может быть представлено в виде наложения бегущих плоских волн. Если рассматривать объем решетки как большой, но конечный, то волновой вектор к будет пробегать ряд хотя и близких друг к другу, но дискретных значений. Смещения атомов изобразятся тогда дискретной суммой вида

— число элементарных ячеек в решетке). Суммирование производится по всем (не эквивалентным) значениям к и по всем ветвям спектра колебаний, а остальные обозначения имеют следующий смысл.

Векторы в (72,1) — векторы поляризации колебаний, т. е. амплитуды, которые не только удовлетворяют уравнениям (69,7), но и предполагаются теперь нормированными определенным условием. Это условие (вместе с соотношениями ортогональности (69,11)) запишем в виде

— суммарная масса атомов в одной ячейке). Условия (72,2) оставляют еще произвольным общий (не зависящий от s) фазовый множитель в векторах . Этот произвол позволяет наложить на эти векторы дополнительные условия

(возможность такого выбора очевидна из того, что в силу соотношений (69,10) векторы, стоящие в обеих сторонах равенства (72.3), удовлетворяют одинаковым уравнениям).

Коэффициенты в - функции времени, удовлетворяющие уравнениям

получающимся подстановкой (72,1) в уравнения (69,4). Положим

тогда каждый член в сумме будет зависеть только от разности т. е. представит собой волну, бегущую в направлении к.

Колебательная энергия решетки выражается через смещения и скорости атомов формулой

Подставим сюда разложение (72,1). Все члены получающихся сумм, содержащие множители обращаются в нуль при суммировании по в силу того, что

где q пробегает все неэквивалентные значения (см. § 133). Учитывая также условия (72,2-3), преобразуем кинетическую энергию к виду

энергия в (72,6) с помощью уравнений движения (69.4) переписывается в виде

и затем преобразуется аналогичным образом; в результате она приводится к виду, отличающемуся от кинетической энергии лишь знаком перед вторым членом в фигурных скобках. Складывая обе части энергии, найдем

Таким образом, полная энергия колебаний решетки выражается в виде суммы энергий, связанных с каждой из волн в отдельности.

Произведем теперь преобразование, в результате которого уравнения движения решетки примут вид канонических уравнений механики. Для этого вводим вещественные «канонические переменные» согласно определению

Выразив отсюда и подставив в (72,7), получим гамильтонову функцию решетки

При этом уравнения Гамильтона совпадают с равенствами , а из находим уравнения

совпадающие с уравнениями движения решетки.

Таким образом, функция Гамильтона представлена в виде суммы независимых членов, каждый из которых имеет вид гамильтоновой функции одномерного гармонического осциллятора. Такой способ описания классического колебательного движения делает очевидным путь перехода к квантовой теории. Мы должны рассматривать теперь канонические переменные — обобщенные координаты и обобщенные импульсы — как операторы с правилом коммутации

(72,10)

Функция Гамильтона (72,9) заменяется таким же оператором, собственные значения которого известны из квантовой механики:

(72,11)

Эта формула и дает возможность ввести понятие о фононах в указанном в § 71 смысле: возбужденное состояние решетки можно рассматривать как совокупность элементарных возбуждений (квазичастиц), каждое из которых имеет энергию , являющуюся определенной функцией параметра (квазиим пульса) k.

Квантовые числа становятся при этом числами заполнения различных состояний квазичастиц.

Согласно известным свойствам гармонического осциллятора в квантовой механике величины имеют матричные элементы только для переходов с изменением чисел на единицу (см. III, § 23). Именно, если ввести операторы

то отличны от нуля матричные элементы

(72,13)

Правила коммутации этих операторов получаются из определения (72,12) и правила (72,10):

(72,14)

Из (72,13) видно, что в смысле воздействия на функции чисел заполнения операторы играют роль операторов уничтожения и рождения фононов. При этом правило (72,14) отвечает, как и следовало, статистике Бозе.

Вместе с величинами становятся операторами (в смысле вторичного квантования) также и векторы смещения

(72,15)

С помощью этого выражения ангармонические члены в гамильтониане (члены третьего и более высоких степеней по смещениям) выражаются через произведения различного числа операторов рождения и уничтожения фононов. Эти члены и представляют собой возмущение, приводящее к различным процессам рассеяния фононов, — процессам с изменениями фононных чисел заполнения.