§ 55. Неравновесные ферми- и бозе-газы
Подобно тому, как это было сделано в § 40, можно вычислить энтропию также и неравновесных ферми- и бозе-газов, а из условия максимальности энтропии снова получить функции распределения Ферми и Бозе.
В случае Ферми в каждом из квантовых состояний может находиться не более одной частицы, но числа 
не малы, а, вообще говоря, того же порядка величины, что и числа 
(все обозначения те же, что и в § 40).
Число возможных способов распределения N j одинаковых частиц по 
состояниям (не более чем по одной в каждом) есть не что иное, как число способов, которыми можно выбрать 
из 
состояний, т. е. число сочетаний из 
элементов по 
. Таким образом, имеем
Логарифмируя это выражение и воспользовавшись для логарифмов всех трех факториалов формулой (40,3), найдем
(55,2)
Вводя снова средние числа заполнения квантовых состояний 
, получим окончательно следующее выражение для энтропии неравновесного ферми-газа:
Из условия максимальности этого выражения по уравнениям (40,8) легко найти, что равновесное распределение определяется формулой
т. е., как и следовало, совпадает с распределением Ферми.
Наконец, в случае статистики Бозе в каждом квантовом состоянии может находиться любое число частиц, так что статистический вес 
есть число всех способов, которыми можно распределить 
частиц по 
состояниям. Это число равно
Логарифмируя это выражение и пренебрегая при этом единицей по сравнению с очень большими числами 
, получим
(55,5)
Вводя числа 
, напишем энтропию неравновесного бозе-газа в виде
Легко убедиться в том, что условие максимальности этого выражения действительно приводит к распределению Бозе.
Обе формулы (55,2) и (55,5) для энтропии в предельном случае 
переходят, естественно, в больцмановскую формулу (40,4). В больдмановское выражение (40,2) переходят также и статистические веса (55,1) и (55,4) статистик Ферми и Бозе; для этого надо положить
Необходимо, однако, иметь в виду, что такой переход в статистических весах означает пренебрежение в них членами порядка 
которые сами по себе, вообще говоря, не малы; но при логарифмировании эти члены дают в энтропии поправку малого относительного порядка 
.
Наконец, выпишем формулу для энтропии бозе-газа в важном предельном случае, когда число частиц в каждом квантовом состоянии велико (так что 
). Как известно из квантовой механики, этот случай соответствует классической волновой картине поля. Статистический вес (55,4) приобретает вид
а энтропия
Мы используем эту формулу в дальнейшем, в § 71.
