§ 80. Термодинамические величины вырожденной плазмы

В изложенной в § 78 теории предполагалось, что плазма далека от вырождения, т. е. подчиняется статистике Больцмана. Рассмотрим теперь ситуацию, когда температура плазмы настолько низка, что ее электронная компонента уже вырождена:

где — масса электрона (ср. (57,8)); при этом ионная компонента благодаря большой массе ионов может быть еще далека от вырождения.

Напомним, что условие слабой неидеальности вырожденной плазмы состоит в требовании

(см. (57,9)); оно выполняется тем лучше, чем выше плотность плазмы.

Для вырожденного газа удобными переменными являются (помимо температуры Т и объема V) его химические потенциалы вместо чисел частиц Соответственно этому будем вычислять - термодинамический потенциал по отношению к этим переменным. Отметим, что химические потенциалы не являются при этом все независимыми переменными; они связаны друг с другом одним соотношением, следующим из условия электрической нейтральности плазмы:

Воспользуемся формулой

выражающей производную от по некоторому параметру к через среднее значение такой же производной от гамильтониана системы (ср. аналогичные формулы (11,4), (15,11)). В данном случае выберем в качестве параметра X квадрат заряда . Гамильтониан плазмы содержит в виде общего коэффициента в операторе кулоновского взаимодействия частиц U. Поэтому так что вычисление сводится к вычислению среднего значения

Мы увидим, что в вырожденной слабо неидеальной плазме основную роль в поправках к термодинамическим величинам идеального газа играет обменная часть электрического взаимодействия электронов (которая в классическом случае несущественна и в § 78 вовсе не учитывалась). Имея это в виду, будем писать в операторе U лишь члены, описывающие кулоновское взаимодействие электронов.

Вычисление наиболее просто осуществляется с помощью метода вторичного квантования. Следуя этому методу (см. III, §§ 64, 65), вводим систему нормированных волновых функций описывающих состояния свободных электронов, движущихся в объеме V с импульсами и проекциями спина а . Импульс пробегает бесконечный набор дискретных значений, интервалы между которыми стремятся к нулю при Далее вводим операторы уничтожения и рождения электронов в состояниях , а с их помощью образуем -операторы

Кулоновское взаимодействие частиц имеет «парный» характер; оператор такого взаимодействия записывается в методе вторичного квантования в виде интеграла

Требуемое усреднение этого оператора производится в два этапа: сначала усреднение по заданному квантовому состоянию системы, а затем усреднение по равновесному статистическому распределению по различным квантовым состояниям. В слабо неидеальной плазме U играет роль малого возмущения. Вычислим среднее значение этой величины в первом приближении теории возмущений, другими словами по отношению к состояниям системы невзаимодействующих частиц, т. е. идеального газа.

Квантовомеханическое усреднение сводится к взятию соответствующего диагонального матричного элемента. После подстановки операторов (80,5), оператор (80,6) представится в виде суммы членов, содержащих различные произведения операторов рождения и уничтожения, взятых по четыре:

где суммирование производится по всем импульсам и проекциям спина, а - матричные элементы от энергии взаимодействия двух электронов поскольку кулоновское взаимодействие не зависит от спинов, то эти элементы берутся для переходов без» изменения проекций спинов электронов, т. е. могут вычисляться по чисто орбитальным функциям

Из всех членов суммы (80,7) диагональные матричные элементы имеют лишь те, которые содержат две пары операторов с одинаковыми индексами, причем произведение заменяется просто числом заполнения данного квантового состояния электронов.

Положив , получим члены

а положив члены

(80,9)

(знак минус возникает здесь в результате перестановки операторов нужной для приведения произведения к виду напомним, что в случае фермионов эти операторы антикоммутативны).

Члены (80,8) представляют собой просто энергию прямого кулоновского взаимодействия электронов, равномерно распределенных в пространстве. Как уже было отмечено в § 78, ввиду электрической нейтральности плазмы эти члены в действительности тождественно сокращаются с аналогичными членами, выражающими энергию взаимодействия других частиц (ионов) друг с другом и с электронами (и в этой связи расходимость интеграла в (80,8) несущественна). Члены же (80,9), содержащие недиагональные матричные элементы кулоновского потенциала, выражают собой искомый обменный эффект.

Имея в виду, что при макроскопическом объеме V импульсы электронов пробегают практически непрерывный ряд значений, можно перейти от суммирования по к интегрированию по (при этом ограничение становится несущественным). Интеграл в (80,9) равен

В результате выражение (80,9) принимает вид

Статистическое усреднение этого выражения производится (в рассматриваемом приближении) по равновесному распределению идеального газа. Ввиду статистической независимости частиц идеального газа в различных квантовых состояниях при этом средние же значения про даются формулой распределения Ферми - химический потенциал электронов). Наконец, поскольку получившееся выражение просто пропорционально то, согласно (80,4), оно непосредственно дает искомую поправку к термодинамическому потенциалу плазмы:

В предельном случае сильного вырождения электронного газа распределение пр сводится к «ступенчатой» функции ( при , при ). Вычисление интеграла приводит тогда к результату:

Эта же величина, если выразить в ней химический потенциал через плотность числа электронов (согласно (57,3)) дает поправку к свободной энергии:

(80,12)

В обратном же предельном случае больцмановского газа вычисление по формуле (80,10) дает

или, выразив через согласно (46,1а),

(80,14)

При обменная поправка между тем как найденная в § 78 корреляционная поправка при этом в силу условия слабой неидеальности

т. е. электронная обменная поправка действительно является главной. При повышении температуры, однако, убывает быстрее, чем (при ). Поэтому существует область, в которой обе поправки одинакового порядка величины. В этой области, однако, вырождение плазмы уже незначительно, и потому для корреляционной поправки можно пользоваться классическими формулами (78,11-14).

В предыдущем изложении подразумевалось, что ионная компонента плазмы не только не вырождена, но и почти идеальна, т. е. что энергия взаимодействия ионов мала по сравнению с их тепловой энергией: Но если плотность плазмы не слишком велика:

(80,15)

(М — масса иона), то температура превышает температуру вырождения ионов:

(80,16)

(причем ). В этих условиях ионная компонента составляет невырожденную, но существенно неидеальную систему.

Минимальности энергии взаимодействия ионов друг с другом и с электронами отвечает тогда упорядоченное расположение ядер, т. е. ядра образуют кристаллическую решетку (А. А. Абрикосов, 1960). Это приводит к тому, что энергии прямого кулоновского взаимодействия различных частиц уже не полностью взаимно компенсируются. В каждой ячейке решетки поле ионов компенсируется находящимися в ней электронами. Но энергия взаимодействия частиц в пределах одной ячейки (размеры которой ) отлична от нуля. По грубой оценке эта энергия , а для всей решетки (с числом ячеек ) ее энергия связи составляет

(80,17)

По порядку величины она совпадает с обменной энергией вырожденной электронной компоненты плазмы. Для устойчивой решетки энергия связи, разумеется, отрицательна.