§ 67. Тепловое расширение твердых тел

Член, пропорциональный в свободной энергии (64.6) при низких температурах можно рассматривать как малую добавку к . С другой стороны, малая поправка к свободной энергии (при заданных V и Т) равна малой поправке (при заданных Р и Т) к термодинамическому потенциалу Ф (см. (15,12)). Поэтому можно сразу написать:

Здесь есть не зависящая от температуры часть термодинамического потенциала, — объем, выраженный как функция от давления с помощью — средняя скорость звука, выраженная через давление с помощью того же соотношения. Зависимость объема тела от температуры определяется посредством

Коэффициент теплового расширения

Мы видим, что при низких температурах он лропорционален кубу температуры. Это обстоятельство, впрочем, заранее очевидно из теоремы Нернста (§ 23) и закона для теплоемкости.

Аналогично при высоких температурах рассматриваем второй и третий члены в (65,6) как малую добавку к первому (для того чтобы тело было твердым, во всяком случае должно быть ) и получаем

Отсюда

Коэффициент теплового расширения есть

Он оказывается не зависящим от температуры.

При увеличении давления атомы в твердом теле сближаются, амплитуда их колебаний (при том же значении энергии) уменьшается; другими словами, увеличивается частота. Поэтому так что и т. е. твердые тела с увеличением температуры расширяются. Аналогичные рассуждения показывают, что коэффициент а из формулы (67,3) также положителен.

Наконец, воспользуемся указанным в конце предыдущего параграфа законом соответственных состояний. Утверждение, что теплоемкость есть функция только от отношения эквивалентно утверждению, что, например, термодинамический потенциал есть функция вида

При этом объем

а коэффициент теплового расширения

Аналогичным образом находим тепловую функцию и теплоемкость :

Сравнивая оба выражения (для С и для а), получим следующее соотношение:

Таким образом, в пределах применимости закона соответственных состояний отношение коэффициента теплового расширения к теплоемкости твердого тела не зависит от температуры (закон Грюнейзена).

Мы уже упоминали выше, что в твердых телах разница между теплоемкостями весьма незначительна. В области низких температур это есть общее следствие теоремы Нернста, относящееся ко всем вообще телам. В области высоких температур, находим, воспользовавшись термодинамическим соотношением (16,9),

где — коэффициент теплового расширения (67,6). Мы видим, что разность пропорциональна это по существу означает, что ее разложение по степеням начинается с члена первого порядка, между тем как разложение самой теплоемкости начинается с нулевого (постоянного) члена. Отсюда следует, что и при высоких температурах у твердых тел .