2.8. Комплексные однородные пространства

Наше изучение групп петель будет во многом основано на рассмотрении их комплексных однородных пространств. Мы вкратце изложим сейчас основные факты о комплексных

однородных пространствах компактных групп, начиная с унитарной группы

Комплексные алгебраические однородные пространства для это грассманианы и флаговые многообразия. Для каждого упорядоченного разбиения к числа (т. е. определим флаговое многообразие как пространство наборов из подпространств в таких, что Если то это грассманиан всех -мерных подпространств в С. Если то вместо мы будем писать

Пространство однородно относительно действия группы причем стационарной подгруппой естественной отмеченной точки (флага такого, что — подпространство натянутое на первые векторов стандартного базиса в является группа Таким образом, можно отождествить с другой стороны, есть также комплексное алгебраическое многообразие и однородное пространство комплексной группы Итак,

где группа верхних блочно-треугольных матриц типа k. В частности, где стандартный тор в группа верхних треугольных матриц.

Пространствами с точностью до изоморфизма исчерпываются однородные пространства группы являющиеся комплексными алгебраическими многообразиями, а также компактные однородные пространства группы Подгруппы это все подгруппы в содержащие Одно из важных свойств многообразия состоит в том, что оно обладает каноническим разложением на комплексные клетки, т. е. подпространства, изоморфные некоторому С. Эти клетки — просто орбиты группы на Их замыкания обычно называют многообразиями Шуберта ([116, § 6], [68, с. 214]). Например, есть объединение клеток нумеруемых последовательностями , такими, что В действительности

причем имеет размерность

Только что описанная ситуация имеет точный аналог для всех компактных групп Ли Подгруппа в комплексификации играющая роль группы верхних треугольных матриц, стандартная борелевская подгруппа алгебра Ли которой порождена и корневыми векторами соответствующими положительным корням а. При этом

Предложение (2.8.2). Имеется взаимно однозначное соответствие между

(i) комплексными алгебраическими однородными пространствами группы

(ii) компактными кэлеровыми однородными пространствами, группы

(iii) подгруппами в содержащими и

(iv) подмножествами множества простых корней группы

Доказательство см. в [152] и [133], а также в [20, гл. IV, § 2, п° 5]. Каждому подмножеству А множества простых корней соответствует однородное пространство где подгруппа в алгебра Ли которой порождена алгеброй Ли. группы и элементами для

Подгруппы в сопряженные какой-либо из подгрупп называются параболическими. Имеем причем каждое такое пространство обладает каноническим разложением на комплексные клетки, являющиеся орбитами группы оно называется разложением Брюа ([20, гл. VI, § 2], [72, ch. 9, § 1]).

В случае пространства группу Вейля можно считать подмножеством в причем в каждой клетке имеется ровно один элемент из иными словами, клеточное разложение пространства есть Размерность клетки равна длине элемента определяемой как число положительных корней а, таких, что отрицателен. Имеется также двойственное клеточное разложение пространства задаваемое орбитами противоположной борелевской подгруппы комплексно сопряженной Клетки имеют дополнительные размерности и пересекаются трансверсально в единственной точке

Для пространство можно описать как флаговое многообразие аналогично случаю Оно состоит из всех флагов таких, что и каждое изотропно по отношению к стандартной билинейной форме на