ЧАСТЬ II

Глава 9. Теория представлений

В этой главе мы начинаем изложение теории представлений групп петель, которой посвящена оставшаяся часть книги. У этой теории есть два аспекта. С одной стороны, мы хотим добиться единообразного описания множества неприводимых представлений произвольной группы петель — к настоящему времени это можно сделать только для представлений положительной энергии, — а с другой стороны, нам хотелось бы иметь интересные представления конкретных групп. Такая дихотомия хорошо известна для компактных групп. Неприводимые представления компактной группы параметризуются характерами ее максимального тора по модулю действия группы Вейля, и теорема Бореля — Вейля (см. разд. 2.9) утверждает, что все эти представления можно единообразно реализовать как пространства голоморфных сечений линейных расслоений. С другой стороны, для конкретной группы имеется фундаментальных представлений, которые получаются действием на внешних степенях как мы знаем, всякое представление может быть построено из фундаментальных. (Еще точнее, можно сказать, что все неприводимые представления реализуются в пространстве тензоров на удовлетворяющих подходящим условиям симметрии, или, эквивалентно, что они получаются разложением тензорных произведений относительно действия симметрической группы. Вейль Для ортогональной группы наряду с тензорными представлениями необходимо построить спинорные представления, чтобы получить все (проективные) неприводимые представления. Все эти утверждения и даже связь между унитарной и симметрической группами (см. далее предложение имеют аналоги для групп петель.

Настоящая глава, которая представляет собой обзор изложенного далее, является введением в теорию представлений. Для того чтобы обрисовать статус последующей теории, эту главу мы начинаем с короткого перечисления некоторых представлений группы для многообразия X размерности

больше единицы, а также некоторых представлений группы не лежащих в классе, который мы собираемся рассматривать. Перейдем теперь к содержанию следующих глав.

В гл. 10 мы очень явно описываем проективное представление группы которая была определена в гл. 6. При ограничении на получается неприводимое представление последней, которое называется базисным. Его можно считать аналогом представлений групп в пространствах Пространство представления можно описать тремя разными способами:

(i) как пространство голоморфных сечений;

(ii) как внешнюю алгебру;

(iii) как сумму симметрических алгебр.

Эквивалентность двух последних описаний — это соответствие между бозонами и фермионами, которое привлекло внимание в двумерной квантовой теории поля — ср. [29], [111], [45], [155] и разд. 10.7.

В гл. 11 мы возвращаемся к единообразной теории и описываем теорию Бореля — Вейля для групп петель, в значительной степени аналогичную известной теории для компактных групп. Здесь доказано большинство утверждений гл. 9.

Глава 12 — это продолжение гл. 10. Построенное в гл. 10 представление группы в этой главе продолжается до представления ограниченной ортогональной группы вещественного гильбертова пространства, полученного из оно оказывается спинорным представлением этой группы. Чтобы объяснить это, мы начинаем с весьма детализированного описания спинорного представления в конечномерном случае, сравнивая классические конструкции. Мы надеемся, что это описание и само по себе представляет некоторый интерес; в частности, приводим явное описание спинорной группы (12.2.10), которое, как нам кажется, ранее не упоминалось. Но что касается групп петель, то основной результат этой главы — конструкция базисного представления группы

Глава 13 посвящена объектам, которые стали известны как «вертексные операторы», хотя мы предпочитаем термин «бли-пы». Они возникли в квантовой теории поля откуда и происходит их название, и у них нет аналогов в конечномерной теории представлений. Они обеспечивают очень интересную конструкцию базисного представления группы для группы G

с простыми связями (ср. разд. 2.5). Вообще они позволяют нам доказать, что представления групп петель с положительной энергией допускают проективное действие группы диффеоморфизмов окружности, согласованное с действиями диффеоморфизмов на группе петель.

В заключительной четырнадцатой главе обсуждается формула Каца для характеров и резольвенты Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда. Наш текст — это не то, что нам бы хотелось. В имеющейся литературе изложение этих тем ведется исключительно в формально-алгебраическом стиле, который, по нашему мнению, не позволяет передать их простой геометрический смысл и красоту. Однако для того, чтобы проводить рассуждения на языке геометрии, необходим комплексный анализ на основном однородном пространстве из разд. 8, который все еще не развит, хотя мы практически не сомневаемся, что это можно сделать. В результате мы остановились на компромиссе: описываем то, что известно, и то, что, по-видимому, верно, и в то же время приводим стандартное алгебраическое доказательство формулы для характеров, принадлежащее Кацу. Мы очень мало сказали о комбинаторных следствиях из формулы для характеров (тождество Макдональда и т. д.), хотя они в значительной степени мотивировали современный интерес к группам петель и широко освещены в литературе.

Заканчивая это введение, мы опишем содержание настоящей главы. После подготовительной дискуссии в разд. 9.1 мы вводим фундаментальное понятие представлений положительной энергии в разд. 9.2. Основные свойства таких представлений и их классификация с помощью характеров максимального тора приведены в разд. 9.3. Вообще, мы предпочитаем, по возможности, работать глобальными методами, хотя, конечно, нельзя избежать использования теории алгебр Ли, и наиболее важное средство этой теории — это оператор Казимира, описанный в разд. 9.4. Одновременно мы можем увидеть, приложив очень небольшие дополнительные усилия, как алгебра Ли группы диффеоморфизмов окружности (называемая физиками «алгеброй Вирасоро») автоматически действует в пространстве представления группы петель положительной энергии. Фактически это действие можно проинтегрировать до действия самой группы диффеоморфизмов, но мы докажем это в разд. 13.4 совершенно иными методами. Глава заканчивается приложением, в котором описаны классические и широко известные факты о представлениях конечномерной и бесконечномерной групп Гейзенберга. На них существенно опирается теория групп петель.