Добавление В. Гармонические отображения

Карен Уленбек [164] дала красивое описание гармонических: отображений сферы Римана в в терминах комплексной структуры на Как мы увидим, это описание включает в себя к обобщает описание Иллса-Вуда [3] гармонических отображений . В этом приложении мы опишем идеи Уленбек. Приведем некоторые работы по близким темам: [160], [161], [165], [166], [167].

Вот основной результат:

Теорема Любое гармоническое отображение допускает каноническое разложение

где отображение голоморфно, а отображение является отображением вычисления Фактически имеется взаимно однозначное соответствие между гармоническими отображениями сохраняющими отмеченную точку, и нормализованными горизонтальными голоморфными отображениями Более того, для любого гармонического отображения имеется канонический мультииндекс для которого поднимается до горизонтального голоморфного отображения в обобщенное многообразие флагов из предложения

Замечания, (i) Слова «горизонтальное» и «нормализованное» объясняются ниже.

(ii) Разложение, указанное в теореме, в некотором смысле хорошо известно в русской литературе по интегрируемым уравнениям, однако вариант Уленбек более точен, явен и полезен.

(iii) Если отождествить грассманиан с элементами порядка 2 в то утверждение означает, что гармоническое отображение канонически разлагается в произведение относительно поточечного умножения в где но отображения не голоморфны.

(iv) Из теоремы следует, что пространство гармонических отображений имеет естественную структуру комплексного алгебраического многообразия. Это многообразие разлагается на (пересекающиеся) компоненты, нумеруемые мультииндексом а.

(v) Так как отображение имеет некоторую целую степень. В связи с этим имеет место

Предложение Энергия

гармонического отображения всегда равна четному целому числу и в два раза больше степени ассоциированного голоморфного отображения

Мы начнем с построения голоморфного отображения Если X — односвязная риманова поверхность и гладкое отображение, то можно написать

где голоморфная локальная координата на Отображение гармонично, если и только если

т. е. если и только если матричнозначная -форма замкнута.

Конформная структура на X позволяет определить поворот -формы на угол При повороте формы на угол получается -форма

Здесь Рассмотрим окружность

в пространстве -форм, которая проходит через точки Матричнозначная -форма имеет вид для некоторого если и только если она является плоской, т. е.

Немедленно проверяется

Предложение Отображение гармонично, если и только если -форма плоская для всех

Итак, если отображение гармонично, то для любого можно найти отображение такое, что единственно с точностью до умножения слева на постоянный элемент из Мы можем считать, что и что принимает значения в при Другими словами, получается окружность отображений которая связывает с постоянным отображением 1, или, эквивалентно отображение где группа гладких петель сохраняющих отмеченную точку. Отображение единственно с точностью до умножения слева на любую петлю у, такую, что Эту петлю можно зафиксировать значением в отмеченной точке поверхности

Лемма Отображение голоморфно.

Доказательство. Комплексная структура пространства происходит из его представления в виде где обозначает петли, голоморфно продолжающиеся в область Поэтому отображение голоморфно, есла отображения лежат в соответственно; и они действительно лежат в этих подмногообразиях в силу формулы

Предположим, с другой стороны, что имеется голоморфное отображение Если в терминах локальной координаты х

для некоторой матричнозначной функции от х, то имеет вид и потому происходит из гармонического отображения. Уравнение просто выражает тот факт, что касательные векторы к голоморфной кривой : лежат в -мерном комплексном подрасслоении касательного расслоения к комплексному однородному пространству которое соответствует подпространству

Определение Голоморфная кривая в горизонтальна, если ее касательное пространство лежит в

К этому моменту мы доказали, что имеется взаимно однозначное соответствие между гармоническими отображениями

сохраняющими отмеченную точку, и горизонтальными голоморфными отображениями сохраняющими отмеченную точку. Очень легко привести

Доказательство Энергия для определяется как

С другой стороны, образующая в представляется левоинвариантной -формой , которая на алгебре Ли определяется как

Обратный образ на относительно равен

Поэтому вдвое больше степени

Чтобы завершить доказательство мы должны показать, что для образ лежит в группе петель, являющихся многочленами Лорана и, кроме того, что можно сдвинуть на канонический элемент из так, что лежит в некотором обобщенном многообразии флагов длины, меньшей

Мы будем пользоваться грассмановым описанием Голоморфное отображение превращается в отображение которое будет записываться как Условие горизонтальности превращается в условие

Нам необходим следующий результат.

Предложение Пусть X — компактное комплексное многообразие. Если голоморфное отображение то существует подпространство такое, что для всех х.

Отложив на время доказательство, мы покажем, как из предложения следует часть теоремы

Во-первых, справедливо

Следствие Голоморфное отображение можно канонически нормализовать таким образом, что для порождает

Это так называемая нормализация Уленбек. Начиная с этого места, мы будем считать наши отображения нормализованными именно таким способом, что заменяет условие о сохранении отмеченной точки.

Лемма Для некоторого целого справедливо включение для всех

Наименьшее такое называется унитонным числом для Из леммы следует, что состоит из петель — многочленов Лорана.

Доказательство Для любого х векторное пространство конечномерно. Умножение на z определяет его эндоморфизм. Пусть его характеристический многочлен равен [2]. Так как голоморфно зависит от х, то фактически он не зависит от х. Итак, получился многочлен такой, что Для всех х. Из этого следует, что петля соответствующая является рациональной функцией от z с полюсами, расположенными в точности в нулях многочлена Но по определению продолжается до голоморфного отображения Поэтому для некоторого

Предложение Унитонное число меньше

Доказательство. Итак, имеется фильтрация

где Каждое из этих подпространств голоморфно зависит от х везде, кроме, возможно, конечного числа точек (где происходит скачок размерности). Положим и получим новую фильтрацию

Так как то Но пространства не могут быть неподвижными (кроме ), ибо порождают Поэтому все включения в строгие и, значит,

Теперь мы доказали все, что хотели, ибо отображение, переводящее х в канонический флаг является голоморфным отображением где Оно горизонтально, т. е. Для всех (Хотя это отображение было сначала не определено в конечном числе точек, его можно продолжить на все так как оно алгебраично и многообразие полно. Это отображение алгебраично, так как получается алгебраически из голоморфного отображения из в конечномерный грассманиан

Осталось привести отложенное доказательство

Лемма Пусть X — компактное комплексное многообразие, локально выпуклое топологическое векторное пространство, а

— голоморфное отображение. Тогда где некоторое конечномерное подпространство в

Доказательство. Пусть где каноническое линейное расслоение на Отображение полностью описывается двойственным отображением содержится в где аннулятор ядра Но конечномерно, так как конечномерно.

Следствие . В ситуации если голоморфное отображение в грассманиан -мерных плоскостей в то для некоторого конечномерного подпространства

Доказательство. Применяем лемму к где -компактное многообразие пар причем прямая в

Доказательство Пусть

Для любого подмножество состоящее из таких подпространств что открыто. Так как X компактно, можно найти такое что для всех Тогда — голоморфное отображение в для некоторого конечного и по (2.16) имеется некоторое

конечно-мерное подпространство такое, что для всех х. Пусть Тогда пространство лежит в для любого х и трансверсально к К, ибо а с другой стороны,

Итак, это график компактного оператора из в К-Этот оператор голоморфно зависит от х, а значит, вовсе не зависит от х. Итак, не зависит от и содержит

Гармонические отображения в

Теорема Иллса — Вуда [162] описывает гармонические отображения следующим образом. Пусть голоморфная кривая. Для любого имеется индуцированное голоморфное отображение которое характеризуется тем, что (Другими словами, это соприкасающаяся плоскость порядка к кривой в точке Определим полагая Тогда отображение гармонично, и все гармонические отображения получаются таким образом. Мы покажем, каким образом эта теорема следует из теоремы Уленбек

Множество элементов порядка в можно отождествить с грассманианом Этот грассманиан впадает с множеством неподвижных точек инволюции и потому является вполне геодезическим подмногообразием в значит, гармоническое отображение в это все равно, что гармоническое отображение в образ которого лежит в . В терминах предложения теорема Иллса — Вуда следует из такого утверждения.

Теорема Пусть гармоническое отображение, образ которого лежит в Тогда его унитонное число

Далее мы объясним, как теорема приводит к формулировке Иллса — Вуда, но сначала мы выведем из

Пусть гармоническое отображение соответствует голоморфному отображению в нормализации Уленбек. На имеется голоморфная инволюция индуцированная отображением на Она соответствует отображению в себя Отображение

вычисления является эквивариантным отображением в следующем смысле:

Из того, что канонически ассоциировано с следует, что подпространство инвариантно относительно Т при всех х. Поэтому

где слова «even» и «odd» означают, что Т действует на соответствующем подпространстве умножением на +1 или на —1. Если отождествляется с с помощью отображения вычисления в точке то элементы порядка 2 в соответствующие подпространствам задаются разложением

Так как мы получаем, что

Если унитонное число равно то где Фильтрация с помощью подпространств дает разложение

где Это разложение сохраняется при действии и действует на умножением на Значит,

Чтобы завершить доказательство того, что достаточно показать, что для Но

в обозначениях Однако мы доказали, что это пространство ненулевое.

В терминах мы доказали, что отображение поднимается в многообразие флагов для некоторого Так как оно -инвариантно, флаг

из должен иметь вид

где подпространства в размерностей такие, что Как так и голоморфно, зависят от х, и отображение задается формулой Для получения оригинальной формулировки теоремы Иллса — Вуда достаточно доказать

Предложение Пусть — замкнутая риманова поверхность. Если голоморфное отображение такое, что имеет размерность то равно т. е. соприкасающемуся пространству к голоморфной кривой

Это предложение в свою очередь будет получено из такого утверждения.

Лемма Пусть в условиях не лежит в некотором подпространстве из размерности, меньшей чем тогда и это неравенство строгое лишь а конечном числе точек

Доказательство Выберем открытое множество и набор голоморфных функций таких, что порождают порождают Тогда порождается набором Если для бесконечного множества точек х, то перестает зависеть от х и является -мерным подпространством в которое содержит все

Доказательство . В двойственном пространстве к С лежит подпространство аннулятор Пусть его базис, такой, что базис для (отсюда Тогда и потому пространство порождено векторами и его размерность равна Применяя лемму к мы можем считать, что Пусть аннулятор Тогда и голоморфная кривая Но если аннулирует то аннулирует Поэтому как и хотелось.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)