ЧАСТЬ I
Глава 2. Конечномерные группы Ли
Цель этой главы — собрать вместе и изложить основные факты о конечномерных группах Ли, которые будут использованы далее, и ввести обозначения и терминологию. Мы не приводим доказательств, отсылая читателя к любому из ряда стандартных руководств, из которых ближе всего по духу к нашему подходу, вероятно, [1]. (Ср. также [20], [72], [76].) Мы обращаем особое внимание на комплексные однородные пространства и теорему Бореля — Вейля (см. ниже разд. 2.8 и 2.9), так как они лежат в основе нашего подхода к группам петель.
2.1. Алгебра Ли
Группа Ли 
это топологическая группа, локально устроенная так же, как евклидово пространство 
Тогда она автоматически является дифференцируемым многообразием; иными словами, она может быть покрыта семейством координатных карт, все функции перехода между которыми дифференцируемы (в действительности даже класса 
).
Касательное пространство 
к группе G в единичном элементе 1 называется алгеброй Ли группы 
Для каждого вектора 1 в 
имеется единственная однопараметрическая подгруппа 
касательный вектор к которой в единице
равен 
Групповой элемент 
обозначается 
отображение 
из 
в G называется экспоненциальным отображением. Оно устанавливает взаимно однозначное соответствие между окрестностью точки 
в 
и окрестностью точки 1 в G и является одной из предпочтительных координатных карт.
Центральное место в книге будет занимать унитарная группа 
состоящая из всех комплексных 
-матриц и, таких, что 
(Здесь и обозначает матрицу, транспонированную к комплексно сопряженной к и.) Алгебра Ли группы 
это векторное пространство 
косоэрмитовых матриц
(т. е. таких, что 
), а экспоненциальное отображение задается обычным экспоненцированием матриц.
Для каждой группы Ли G с алгеброй Ли 
имеется операция 
обозначаемая 
и называемая скобкой. Она определяется формулой
Мы видим, что она в определенном смысле измеряет отклонение группы от коммутативной. Скобка билинейна и обладает свойствами
(последнее свойство называется тождеством Яоби). В случае группы 
а в действительности и в случае любой другой матричной группы, легко видеть, что скобка выражается через матричное умножение формулой
Другим способом алгебру Ли 
можно описать как пространство левоинвариантных векторных полей на группе 
В самом деле, касательный вектор к G в единице с помощью левых сдвигов определяет касательный вектор в каждой точке группы 
а значит, гладкое векторное поле. Обратно, левоинвариантное векторное поле вполне определяется его значением в 
С этой точки зрения операция скобки 
есть обычная скобка векторных полей: если 
записаны в некоторой локальной координатной карте как
то в той же карте 
задается формулой
Иными словами, если 
рассматривать как дифференциальные операторы, действующие на гладкие функции на 
то
Если группа G связна, то ее алгебра Ли 
вместе с операцией скобки полностью определяет 
с точностью до возможности ее замены локально изоморфной группой. Например, группа 
являющаяся подгруппой в произведении 
состоящей из таких пар 
что 
(иными словами, элемент группы 
— это элемент группы 
вместе с выбором значения логарифма его определителя). Для каждой конечномерной алгебры Ли 
всегда имеется односвязная группа 
алгеброй Ли которой является 
кроме того, каждый гомоморфизм алгебр Ли 
где 
алгебра Ли группы 
происходит 
гомоморфизма групп 