ЧАСТЬ I
Глава 2. Конечномерные группы Ли
Цель этой главы — собрать вместе и изложить основные факты о конечномерных группах Ли, которые будут использованы далее, и ввести обозначения и терминологию. Мы не приводим доказательств, отсылая читателя к любому из ряда стандартных руководств, из которых ближе всего по духу к нашему подходу, вероятно, [1]. (Ср. также [20], [72], [76].) Мы обращаем особое внимание на комплексные однородные пространства и теорему Бореля — Вейля (см. ниже разд. 2.8 и 2.9), так как они лежат в основе нашего подхода к группам петель.
2.1. Алгебра Ли
Группа Ли
это топологическая группа, локально устроенная так же, как евклидово пространство
Тогда она автоматически является дифференцируемым многообразием; иными словами, она может быть покрыта семейством координатных карт, все функции перехода между которыми дифференцируемы (в действительности даже класса
).
Касательное пространство
к группе G в единичном элементе 1 называется алгеброй Ли группы
Для каждого вектора 1 в
имеется единственная однопараметрическая подгруппа
касательный вектор к которой в единице
равен
Групповой элемент
обозначается
отображение
из
в G называется экспоненциальным отображением. Оно устанавливает взаимно однозначное соответствие между окрестностью точки
в
и окрестностью точки 1 в G и является одной из предпочтительных координатных карт.
Центральное место в книге будет занимать унитарная группа
состоящая из всех комплексных
-матриц и, таких, что
(Здесь и обозначает матрицу, транспонированную к комплексно сопряженной к и.) Алгебра Ли группы
это векторное пространство
косоэрмитовых матриц
(т. е. таких, что
), а экспоненциальное отображение задается обычным экспоненцированием матриц.
Для каждой группы Ли G с алгеброй Ли
имеется операция
обозначаемая
и называемая скобкой. Она определяется формулой
Мы видим, что она в определенном смысле измеряет отклонение группы от коммутативной. Скобка билинейна и обладает свойствами
(последнее свойство называется тождеством Яоби). В случае группы
а в действительности и в случае любой другой матричной группы, легко видеть, что скобка выражается через матричное умножение формулой
Другим способом алгебру Ли
можно описать как пространство левоинвариантных векторных полей на группе
В самом деле, касательный вектор к G в единице с помощью левых сдвигов определяет касательный вектор в каждой точке группы
а значит, гладкое векторное поле. Обратно, левоинвариантное векторное поле вполне определяется его значением в
С этой точки зрения операция скобки
есть обычная скобка векторных полей: если
записаны в некоторой локальной координатной карте как
то в той же карте
задается формулой
Иными словами, если
рассматривать как дифференциальные операторы, действующие на гладкие функции на
то
Если группа G связна, то ее алгебра Ли
вместе с операцией скобки полностью определяет
с точностью до возможности ее замены локально изоморфной группой. Например, группа