3.4. Некоторые теоретико-групповые свойства группы Мар(Х; G)

В этом разделе G будет компактной связной группой а -компактным гладким многообразием. Для краткости группу гладких отображений будем обозначать

Если группа G полупроста, то она совершенна, т. е. совпадает со своим коммутантом Мы покажем, что тогда компонента единицы также совершенна (мы не можем ожидать, что сама группа будет совершенной; например, в случае группа связных компонент есть фундаментальная; группа являющаяся абелевой).

Предложение (3.4.1). Если группа G полупроста, то совершенна, и, более того,

Доказательство. Рассмотрим сначала случай Если

— обычный базис в алгебре Ли группы порождаемые элементами базиса подгруппы-окружности, то умножение сюръективно. Поэтому умножение

сюръективно в окрестности единицы; значит, достаточно доказать (поскольку подгруппы сопряжены между собой), что каждый элемент компоненты единицы в лежит в Но это последнее утверждение справедливо, поскольку

(скобка здесь обозначает теоретико-групповой коммутатор [х,у] а не скобку в алгебре Ли; степень определена, поскольку имеет число вращения нуль).

Требуемый результат для произвольной полупростой группы G сразу вытекает из частного случая группы В самом деле, как было объяснено в разд. 2.4, можно найти конечное число гомоморфизмов соответствующих положительным корням группы таких, что отображение умножения

а значит, и индуцированное отображение локально сюръективно.

Обсудим теперь группу автоморфизмов группы

Группа диффеоморфизмов многообразия X действует на группа автоморфизмов. Кроме этого, имеются очевидные поточечные автоморфизмы группы возникающие из гладких отображений где А — группа автоморфизмов группы Если группа G проста, то других автоморфизмов по существу нет.

Предложение (3.4.2). Если группа G проста, то группа автоморфизмов группы, есть полупрямое произведение

Доказательство. Предположим, что есть автоморфизм. Его композиция с отображением вычисления в точке задает гомоморфизм Ограничение гомоморфизма на подгруппу G постоянных отображений в должно быть автоморфизмом группы как если бы оно было тривиальным, то и было бы тривиальным, поскольку Ясно, что отображение задает элемент а группы заменяя а на мы можем считать, что тождествен для всех х. Решающий шаг теперь состоит в том, чтобы показать, что для некоторого Для этого достаточно рассмотреть производную гомоморфизма являющуюся гомоморфизмом алгебр Ли

Для открытого множества обозначим через идеал: в состоящий из элементов с носителем в Поскольку алгебра проста, а гомоморфизм сюръективен, ограничение должно быть либо тривиально, либо сюръективно. Отсюда следует, что если рассматривать как распределение на X, то его носитель состоит ровно из одной точки у; в самом деле, если бы были двумя различными точками в носителе, непересекающимися окрестностями точек у и: у, то каждый из коммутирующих между собой идеалов отображался бы сюръективно на неабелеву алгебру что невозможно. Таким образом, ядро гомоморфизма содержит идеал всех элементов из обращающихся в точке у в нуль вплоть до порядка Но

(где слева встречается k раз), так что ядро должно содержать Так как это доказывает, что есть числение в точке у.

Если отображение определено посредством то задается формулой Отображение должно быть гладким, поскольку переводит гладкие функции в гладкие функции, и оно должно быть диффеоморфизмом, поскольку а — автоморфизм.

Замечания, (i) Предшествующий результат, очевидно, не выполняется, если группа G не проста, но приведенный метод позволяет описать все автоморфизмы группы в случае, когда G полупроста. Если в качестве сомножителя есть тор, то содержит в качестве сомножителя большое векторное пространство, полная линейная группа которого содержится в группе автоморфизмов.

(ii) Как указал нам П. де ла Гарп, доказательство предложения (3.4.2) фактически доказывает следующий результат.

Предложение (3.4.3). Если группа G проста, то максимальные нормальные подгруппы в это в точности ядра отображений вычисления в точках многообразия

В завершение этого раздела вернемся вкратце к группам петель. Компонента единицы группы А автоморфизмов группы G состоит из внутренних автоморфизмов, и есть конечная группа классов внешних автоморфизмов. Группа действует как группа автоморфизмов группы и ее компонента единицы снова состоит из внутренних автоморфизмов, поскольку каждая гомотопная нулю петля в может быть поднята в В действительности петля может быть.

поднята в точности, когда ее гомотопический класс принадлежит образу отображения Коядро этого гомоморфизма есть центр группы поэтому мы получаем

Предложение (3.4.4). Полупрямое произведение есть подгруппа в группе классов внешних автоморфизмов группы

Действие центра имеет важное значение. Для каждого можно выбрать гладкое отображение такое, что ; тогда сопряжение с помощью и есть соответствующий внешний автоморфизм группы