9.5. Группы Гейзенберга и их стандартные представления

Пусть — это вещественное топологическое векторное пространство с кососимметрической билинейной формой Предположим, что непрерывна и невырожденна, т. е. для любого вектора найдется вектор что Группа Гейзенберга V — это центральное расширение пространства с помощью окружности, определенное формой 5. Другими словами:

Определение (9.5.1). Группой Гейзенберга ассоциированной с парой называется множество с законом умножения

Мы будем рассматривать как подмножества и Центр — это Есть очевидная комплексификация которая получается расширением с помощью

Цель этого раздела — описать стандартное неприводимое унитарное представление группы Его конструкция зависит от выбора комплексной структуры (т. е. оператора, такого, что которая совместима с и положительна, т. е.

(ii) для любого ненулевого вектора

Пользуясь мы можем написать где собственные подпространства оператора отвечающие собственным значениям Как А, так и А изотропны относительно 5. Обратно, разложение на комплексно

сопряженные изотропные подпространства определяет подходящий оператор если эрмитова форма определенная соотношением

положительно определена.

Стандартное представление группы Гейзенберга , связанное с I, реализуется в гильбертовом пространстве полученном пополнением симметрической алгебры относительно скалярного произведения (9.5.2), которое распространяется с А на по формуле

где суммирование идет по всем перестановкам множества Чтобы описать представление, мы опишем сначала действие комплексифидированной группы на пространстве голоморфных функций на снабжено топологией равномерной сходимости на компактных множествах.) Симметрическую алгебру можно рассматривать как подалгебру в отождествляя с голоморфной функцией на А.

Векторные пространства можно рассматривать как подгруппы в отождествляя Они порождают и удовлетворяют соотношению

а это позволяет определить представление группы на считая, что А действует сдвигами, т. е.

умножением на функцию, т. е.

Действие на определено гладким отображением ; поэтому имеется действие алгебры Ли группы которое после взятия экспоненты приводит к формулам (9.5.4). Мы будем записывать элементы группы в виде где Операторы

удовлетворяют коммутационным соотношениям

Сейчас мы покажем, что действие на индуцирует унитарное представление группы V на гильбертовом пространстве полученном пополнением алгебры начнем с того, что для любого функция лежит в ; легко проверить, что

Легко сосчитать, что действие переводит в элемент

из где а для Мы видим, что

Из следующей леммы вытекает, что V унитарно действует на подпространстве в

Лемма (9.5.7). Пусть комплексное векторное пространство с базисом взаимно однозначно соответствующим элементам Определим эрмитово скалярное произведение на полагая

Тогда это скалярное произведение положительно определено и пополнение относительно соответствующей нормы канонически изоморфно

Доказательство. Отобразим в полагая -Это отображение сохраняет скалярное произведение, и осталось показать только, что элементы порождают плотное подпространство в Пусть замыкание порожденного ими подпространства. Последовательно дифференцируя (для ) по и полагая мы получим, что для всех . Но и для всех ибо

где о пробегает все подмножества в обозначает число элементов в а. Поэтому совпадает с

Замечание. Гильбертово пространство — это в сущности пространство голоморфных функций на А, которые квадратично интегрируемы относительно естественной гауссовой меры,

определяемой по норме на Трудность, связанная с этим описанием, состоит в том, что если А не конечномерно, то гауссова мера сосредоточена только на расширении пространства А. Ср. [60, разд. IV: 3] и [98].

Лемма (9.5.7) показывает, что 9 унитарно действует на так как мы можем определить действие 9 на векторном пространстве полагая

для а (ср. (9.5.6)), которое сохраняет скалярное произведение.

Инфинитезимальные образующие действия не сохраняют подпространство Их можно, впрочем, рассматривать как неограниченные самосопряженные операторы с плотной областью определения в

Предложение (9.5.8). Унитарное представление группы Гейзенберга 9 на неприводимо.

Доказательство. Можно считать, что V сепарабельно. Более того, можно также полагать, что полно относительно формы . В этом случае можно считать, что V — это пространство вещественнозначных -функций на окружности с нулевым средним и что порождено при Тогда группа Т поворотов окружности действует автоморфизмами на и согласованным образом действует на которое является представлением группы 9 с положительной энергией в смысле разд. 9.2. В этой ситуации мы знаем из предложения (9.2.3), что любое разложение инвариантное относительно 9, инвариантно относительно поворотов, Тогда единичный элемент который является с точностью до скалярного множителя единственным элементом энергии нуль, должен лежать либо в либо в . С другой стороны, элемент 1 является циклическим вектором относительно действия на потому что — как видно из -групповой элемент а переводит 1 в кратное вектора а векторы порождают Поэтому нетривиальное разложение невозможно и представление неприводимо.

Если векторное пространство V конечномерно, то представления группы , соответствующие различным положительным комплексным структурам эквивалентны. В этом случае симплектическая группа -группа всех автоморфизмов пространства V, сохраняющих кососимметрическую форму, — проективно действует на согласовано с ее действием на .

Получающееся проективное представление называется метаплектическим представлением. Если V не конечномерно, имеется следующий результат, принадлежащий Шейлу [136].

Предложение (9.5.9). (i) Представления группы Гейзенберга V, которые соответствуют двум комплексным структурам на V, эквивалентны, если и только если оператор Гильберта — Шмидта.

(ii) Для заданной комплексной структуры на V подгруппа в состоящая из автоморфизмов таких, что оператор Гильберта — Шмидта, проективно действует на гильбертовом пространстве соответствующем согласованно с действием

Мы не будем здесь этого доказывать, потому что симплектическая теория в точности аналогична соответствующей теории спинорного представления, которое будет детально рассматриваться в гл. 12, и даже проще нее. Доказательство в духе этой книги есть в [131]; в литературе можно встретить много других. Ср. [136], [150].

Отметим, впрочем, что часть «только если» утверждения (i) доказывается очень легко. Пусть соответствуют разложениям

мы можем считать графиком симметрического оператора Если эквивалентны, то в найдется вектор, инвариантный относительно действия подгруппы Простое вычисление показывает, что единственным возможным кандидатом на эту роль может быть вектор где а — элемент из лежит в только если он задается оператором Гильберта — Шмидта, и потому также оператор Гильберта — Шмидта.

Группы Гейзенберга, появляющиеся в этой книге, возникают при центральных расширениях группы петель торов. Если тор с алгеброй Ли мы можем написать где — подгруппа постоянных петель, векторное пространство отображений с нулевым средним, которое рассматривается как подгруппа в относительно экспоненциального отображения. Расширения которые нас интересуют, обладают следующим свойством: связная компонента единицы канонически изоморфна произведению где V — это группа Гейзенберга, связанная с некоторой

кососимметрической формой на Имеется гомоморфизм

связанный с LT: он определен тем фактом, что действие сопряжением на центре группы всегда имеет вид

В наших примерах гомоморфизм индуцирован скалярным произведением на алгебре Ли следовательно, инъективен.

Остановимся на классификации неприводимых представлений группы с положительной энергией. Имеется каноническое разложение на пространства с положительной и отрицательной энергией относительно действия Т поворотами, и эрмитова форма (9.5.2) на А положительно определена. Поэтому представление группы V с положительной энергией. Основное утверждение, необходимое для классификации, состоит в следующем.

Предложение (9.5.10). -единственное неприводимое унитарное представление группы V с положительной энергией, точное на центре. Более общо, для любого единственное неприводимое унитарное представление группы V уровня с положительной энергией — это каноническое представление (также на группы Гейзенберга, построенной по кососимметрической форме на

Отложив ненадолго доказательство этого предложения, перейдем к классификации. Все неприводимые представления связной компоненты единицы соответствуют парам где характер, которым действует уровень представления группы . Для любого такого представления и группы имеется соответствующее индуцированное представление группы Сопряжение с помощью переводит , поэтому ограничение на представления группы индуцированного из , равно

Отсюда следует, что если и гомоморфизм инъективен, то представление и неприводимо, и любое представление положительного уровня должно иметь такой вид.

Итак, мы доказали

Предложение (9.5.11). Если гомоморфизм ассоциированный с расширением инъективен, то все неприводимые

кососиммеунитарные представления группы положительной энергии — это уже построенные представления Такие представления уровня соответствуют элементам из

Это означает, что такие представления соответствуют орбитам действия группы на двойственном к максимальному тору группы пространстве.

Вернемся теперь к (9.5.10). Это предложение доказывается переходом к действию алгебры Ли группы . Если — произвольное унитарное представление группы V, то для любого существует неограниченный самосопряженный оператор с плотной областью определения в , такой, что действует на оператором Мы определим для по комплексной линейности.

Предложение (9.5.12). Если — представление с положительной энергией и принадлежит множеству векторов конечной энергии то область определения содержит . Кроме того, и соотношения

справедливы на для

Доказательство. Мы можем предполагать, что центр группы V точно действует на .

Пусть Положим а для Тогда у лежит в трехмерной группе Гейзенберга порожденной . Мы можем считать, что а обладает определенной энергией, т. е. является собственным вектором для Тогда инвариантна относительно поворотов. Мы предполагаем известным, что имеет единственное точное представление, которое можно реализовать в пополнении полиномиальной алгебры Это означает, что где — гильбертово пространство, на котором действует тривиально и на котором действует также группа поворотов. Очевидно, что

Но действует на как значит, ласть определения содержит т. е. содержит Очевидно также, что сохраняет .

Доказательство коммутационных соотношений теперь элементарно, ибо достаточно рассмотреть три случая:

Доказательство (9.5.10). Мы рассмотрим лишь случай, когда центр действует точно: общий случай по существу совпадает с этим.

Пусть — неприводимое представление с положительной энергией, и пусть единичный вектор минимальной энергии в Определим отображение

полагая

Легко проверить, что сохраняет скалярные произведения: например,

(Здесь, получая (9.5.13), мы использовали, что так как понижает энергию.) Отсюда следует, что продолжается до изометрического изоморфизма между и замкнутым подпространством в Легко также проверить, что согласовано с действием для любого и, значит, отождествляется с подпредставлением в Так как неприводимо, это завершает доказательство.

Теперь мы знаем все неприводимые представления группы с положительной энергией и можем сформулировать

Предложение (9.5.14). Любое представление группы с положительной энергией допускает проективное согласованное действие

Доказательство. Достаточно показать, что действует на представление группы Действие на индуцирует действие на и по предложению (6.8.2) мы знаем, что Поэтому проективно действует на с помощью метаплектического представления из предложения (9.5.9).

В разд. 13.4 мы используем предложение (9.5.14), чтобы установить соответствующий результат для произвольной группы петель.

В заключение этого раздела сформулируем следующий результат, который понадобится нам в гл. 13.

Предложение (9.5.15). Пусть представление группы с положительной энергией-, тогда векторы конечной энергии в являются гладкими. (То есть если то - гладкое отображение

Доказательство. Как обычно, достаточно показать, что векторы конечной энергии в гладкие относительно действия Но является гладким вектором, так как есть явная: формула

для Любой иной вектор конечной энергии является; линейной комбинацией векторов вида

где и является гладким, ибо