удовлетворяют коммутационным соотношениям
Сейчас мы покажем, что действие
на
индуцирует унитарное представление группы V на гильбертовом пространстве
полученном пополнением алгебры
начнем с того, что для любого функция
лежит в
; легко проверить, что
Легко сосчитать, что действие
переводит
в элемент
из
где
а для
Мы видим, что
Из следующей леммы вытекает, что V унитарно действует на подпространстве
в
Лемма (9.5.7). Пусть
комплексное векторное пространство с базисом
взаимно однозначно соответствующим элементам
Определим эрмитово скалярное произведение на
полагая
Тогда это скалярное произведение положительно определено и пополнение
относительно соответствующей нормы канонически изоморфно
Доказательство. Отобразим
в
полагая
-Это отображение сохраняет скалярное произведение, и осталось показать только, что элементы порождают плотное подпространство в
Пусть
замыкание порожденного ими подпространства. Последовательно дифференцируя (для
) по
и полагая
мы получим, что
для всех
. Но и
для всех
ибо
где о пробегает все подмножества в
обозначает число элементов в а. Поэтому
совпадает с
Замечание. Гильбертово пространство
— это в сущности пространство голоморфных функций на А, которые квадратично интегрируемы относительно естественной гауссовой меры,
определяемой по норме на
Трудность, связанная с этим описанием, состоит в том, что если А не конечномерно, то гауссова мера сосредоточена только на расширении пространства А. Ср. [60, разд. IV: 3] и [98].
Лемма (9.5.7) показывает, что 9 унитарно действует на
так как мы можем определить действие 9 на векторном пространстве
полагая
для
а (ср. (9.5.6)), которое сохраняет скалярное произведение.
Инфинитезимальные образующие
действия
не сохраняют подпространство
Их можно, впрочем, рассматривать как неограниченные самосопряженные операторы с плотной областью определения в
Предложение (9.5.8). Унитарное представление группы Гейзенберга 9 на
неприводимо.
Доказательство. Можно считать, что V сепарабельно. Более того, можно также полагать, что
полно относительно формы
. В этом случае можно считать, что V — это пространство вещественнозначных
-функций на окружности с нулевым средним и что
порождено
при
Тогда группа Т поворотов окружности действует автоморфизмами на
и согласованным образом действует на
которое является представлением группы 9 с положительной энергией в смысле разд. 9.2. В этой ситуации мы знаем из предложения (9.2.3), что любое разложение
инвариантное относительно 9, инвариантно относительно поворотов,
Тогда единичный элемент
который является с точностью до скалярного множителя единственным элементом энергии нуль, должен лежать либо в
либо в
. С другой стороны, элемент 1 является циклическим вектором относительно действия
на
потому что — как видно из
-групповой элемент
а переводит 1 в кратное вектора
а векторы
порождают
Поэтому нетривиальное разложение невозможно и представление неприводимо.
Если векторное пространство V конечномерно, то представления группы
, соответствующие различным положительным комплексным структурам
эквивалентны. В этом случае симплектическая группа
-группа всех автоморфизмов пространства V, сохраняющих кососимметрическую форму, — проективно действует на
согласовано с ее действием на
.
Получающееся проективное представление
называется метаплектическим представлением. Если V не конечномерно, имеется следующий результат, принадлежащий Шейлу [136].
Предложение (9.5.9). (i) Представления группы Гейзенберга V, которые соответствуют двум комплексным структурам
на V, эквивалентны, если и только если
оператор Гильберта — Шмидта.
(ii) Для заданной комплексной структуры
на V подгруппа
в
состоящая из автоморфизмов
таких, что
оператор Гильберта — Шмидта, проективно действует на гильбертовом пространстве
соответствующем
согласованно с действием
Мы не будем здесь этого доказывать, потому что симплектическая теория в точности аналогична соответствующей теории спинорного представления, которое будет детально рассматриваться в гл. 12, и даже проще нее. Доказательство в духе этой книги есть в [131]; в литературе можно встретить много других. Ср. [136], [150].
Отметим, впрочем, что часть «только если» утверждения (i) доказывается очень легко. Пусть
соответствуют разложениям
мы можем считать
графиком симметрического оператора
Если
эквивалентны, то в
найдется вектор, инвариантный относительно действия подгруппы
Простое вычисление показывает, что единственным возможным кандидатом на эту роль может быть вектор
где а — элемент из
лежит в
только если он задается оператором Гильберта — Шмидта, и потому
также оператор Гильберта — Шмидта.
Группы Гейзенберга, появляющиеся в этой книге, возникают при центральных расширениях группы петель торов. Если
тор с алгеброй Ли
мы можем написать
где
— подгруппа постоянных петель,
векторное пространство отображений
с нулевым средним, которое рассматривается как подгруппа в
относительно экспоненциального отображения. Расширения
которые нас интересуют, обладают следующим свойством: связная компонента единицы
канонически изоморфна произведению
где V — это группа Гейзенберга, связанная с некоторой
кососимметрической формой
на
Имеется гомоморфизм
связанный с LT: он определен тем фактом, что действие
сопряжением на центре
группы
всегда имеет вид
В наших примерах гомоморфизм
индуцирован скалярным произведением на алгебре Ли
следовательно, инъективен.
Остановимся на классификации неприводимых представлений группы
с положительной энергией. Имеется каноническое разложение
на пространства с положительной и отрицательной энергией относительно действия Т поворотами, и эрмитова форма (9.5.2) на А положительно определена. Поэтому
представление группы V с положительной энергией. Основное утверждение, необходимое для классификации, состоит в следующем.
Предложение (9.5.10).
-единственное неприводимое унитарное представление группы V с положительной энергией, точное на центре. Более общо, для любого
единственное неприводимое унитарное представление группы V уровня
с положительной энергией — это каноническое представление (также на
группы Гейзенберга, построенной по кососимметрической форме
на
Отложив ненадолго доказательство этого предложения, перейдем к классификации. Все неприводимые представления связной компоненты единицы
соответствуют парам
где
характер, которым действует
уровень представления группы
. Для любого такого представления и группы
имеется соответствующее индуцированное представление группы
Сопряжение с помощью
переводит
, поэтому ограничение на
представления
группы
индуцированного из
, равно
Отсюда следует, что если
и гомоморфизм
инъективен, то представление
и неприводимо, и любое представление положительного уровня должно иметь такой вид.
Итак, мы доказали
Предложение (9.5.11). Если гомоморфизм
ассоциированный с расширением
инъективен, то все неприводимые
кососиммеунитарные представления группы
положительной энергии — это уже построенные представления
Такие представления уровня
соответствуют элементам из
Это означает, что такие представления соответствуют орбитам действия группы
на двойственном к максимальному тору группы
пространстве.
Вернемся теперь к (9.5.10). Это предложение доказывается переходом к действию алгебры Ли группы
. Если
— произвольное унитарное представление группы V, то для любого
существует неограниченный самосопряженный оператор
с плотной областью определения в
, такой, что
действует на
оператором
Мы определим
для
по комплексной линейности.
Предложение (9.5.12). Если
— представление с положительной энергией и
принадлежит множеству векторов конечной энергии
то область определения
содержит
. Кроме того,
и соотношения
справедливы на
для
Доказательство. Мы можем предполагать, что центр группы V точно действует на
.
Пусть
Положим
а для
Тогда у лежит в трехмерной группе Гейзенберга
порожденной
. Мы можем считать, что а обладает определенной энергией, т. е. является собственным вектором для
Тогда
инвариантна относительно поворотов. Мы предполагаем известным, что
имеет единственное точное представление, которое можно реализовать в пополнении полиномиальной алгебры
Это означает, что
где
— гильбертово пространство, на котором
действует тривиально и на котором действует также группа поворотов. Очевидно, что
Но
действует на
как
значит,
ласть определения
содержит
т. е. содержит
Очевидно также, что
сохраняет
.
Доказательство коммутационных соотношений теперь элементарно, ибо достаточно рассмотреть три случая:
Доказательство (9.5.10). Мы рассмотрим лишь случай, когда центр действует точно: общий случай по существу совпадает с этим.
Пусть
— неприводимое представление с положительной энергией, и пусть
единичный вектор минимальной энергии в
Определим отображение
полагая
Легко проверить, что
сохраняет скалярные произведения: например,
(Здесь, получая (9.5.13), мы использовали, что
так как
понижает энергию.) Отсюда следует, что
продолжается до изометрического изоморфизма между
и замкнутым подпространством в
Легко также проверить, что
согласовано с действием
для любого
и, значит,
отождествляется с подпредставлением в
Так как
неприводимо, это завершает доказательство.
Теперь мы знаем все неприводимые представления группы
с положительной энергией и можем сформулировать
Предложение (9.5.14). Любое представление группы
с положительной энергией допускает проективное согласованное действие
Доказательство. Достаточно показать, что
действует на представление
группы
Действие
на
индуцирует действие на
и по предложению (6.8.2) мы знаем, что
Поэтому
проективно действует на
с помощью метаплектического представления из предложения (9.5.9).
В разд. 13.4 мы используем предложение (9.5.14), чтобы установить соответствующий результат для произвольной группы петель.
В заключение этого раздела сформулируем следующий результат, который понадобится нам в гл. 13.