Глава 11. Теория Бореля-Вейля    

В этой главе описывается подход Бореля — Вейля к теории представлений групп петель. Он позволяет систематически строить все неприводимые представления как пространства голоморфных сечений линейных расслоений на однородном пространстве и доказать, что все представления вполне приводимы. Эти результаты в точности соответствуют результатам о компактных группах, которые были приведены в гл. 2. Стоит заметить, однако, что этот метод не проясняет, почему действует на представлениях групп петель, так как диффеоморфизмы не действуют на У голоморфными преобразованиями, ибо не сохраняют подгруппу

Как обычно, если противное не оговорено, мы говорим «представление», подразумевая «гладкое представление с положительной энергией». Кроме того, мы предполагаем, что G односвязна.

11.1. Пространство голоморфных сечений однородного линейного расслоения

В этом разделе мы будем заниматься пространствами голоморфных сечений линейных расслоений на Напомним, что состоит из граничных значении голоморфных отображений

таких, что лежит в борелевской подгруппе группы соответствующей положительным корням.

Фиксируем центральное расширение группы позволяет представить У в виде

Каждый характер группы Т канонически продолжается до голоморфного гомоморфизма

ибо Это позволяет нам определить голоморфное линейное расслоение

на У, задавая действие на С с помощью (Другими словами, получается из отождествлением для всех Расслоение по построению однородно относительно в том смысле, что действует на нем согласованно с действием на базе Действие на группы поворотов окружности можно поднять до действия этой группы на

Мы будем обозначать пространство голоморфных сечений расслоения снабженное компактно-открытой топологией, символом Очевидно, что пространство является голоморфным представлением группы но оно, конечно, может состоять лишь из нуля. На самом деле мы докажем в разд. 11.3, что это пространство отлично от нуля, если и только если вес X, антидоминантный. Основная цель этого раздела — доказать, что верна

Теорема (11.1.1). Если представление ненулевое, то X антидоминантен и это представление

(i) обладает положительной энергией,

(ii) является представлением конечного типа,

(iii) существенно унитарно,

(iv) неприводимо с младшим весом X, где X рассматривается как характер группы тривиальный на

Кроме того, если любой другой вес представления то равно сумме положительных корней группы

Доказательство Заметим сначала, что действие Т поворотами на и У индуцирует действие на пространстве сечений согласованное с действием

В пространстве есть плотное открытое множество которое можно отождествить с группой (см. разд. 8.7). Действие определяет тривиализацию линейного расслоения на Поэтому ограничение голоморфного сечения расслоения на можно рассматривать как голоморфную функцию на применяя экспоненциальное отображение, поднять до голоморфной функции на алгебре Ли Сопоставляя каждому сечению его разложение Тейлора в отмеченной точке, мы

получаем инъективное отображение

где обозначает пространство непрерывных симметрических -мультилинейных отображений Отображение (11.1.2) эквивариантно относительно поворотов окружности, и пространство справа обладает положительной энергией; поэтому также обладает положительной энергией. Тот факт, что правая часть (11.1.2) является пространством конечного типа, неверен, ибо содержит максимальную нильпотентную подалгебру алгебры Ли в качестве подпространства нулевой энергии, и поэтому часть с нулевой энергией в это бесконечномерное пространство Но чтобы доказать конечномерность части с энергией в достаточно показать, что часть пространства аннулируемая конечномерна: действительно, это представление компактной группы а любое неприводимое представление этой группы конечномерно и содержит единственную прямую, которая аннулируется Так как то подпространство в правой части (11.1.2), которое аннулируется равно

а это пространство конечного типа.

Прежде чем двинуться дальше, можно установить еще один факт. Это отображение эквивариантно относительно если умножить естественное действие на правой части на характер А, (т. е. на действие на слой в отмеченной точке). Веса группы которые встречаются в это положительные корни группы Отсюда следует, что любой вес из отличается от к на сумму положительных корней, и, значит, X антидоминантен. (Если для некоторого положительного корня а, то отражение из соответствующее а, переведет в .)

Доказательство (iii). Естественный способ определить скалярное произведение на это рассмотреть -скалярное произведение относительно некоторой инвариантной меры на У. К сожалению, ни одной такой меры на бесконечномерном пространстве У пока еще не построено: мы вернемся к этому вопросу в разд. 14.5. Поэтому мы поступим иначе.

Начнем с того, что обязано содержать хотя бы одно ненулевое сечение, инвариантное относительно или, эквивалентно, которое аннулируется Действительно, пространство векторов минимальной энергии аннулируется алгеброй Ли и в то же время является представлением группы любой вектор младшего веса для в этом представлении аннулируется алгеброй Ли значит, алгеброй Ли

С другой стороны, сечение, инвариантное относительно полностью определяется своим значением в отмеченной точке У. Действительно, два таких сечения, совпадающие в отмеченной точке, должны совпадать на орбите а эта орбита плотна в . Пространство -инвариантных сечений поэтому одномерно и, очевидно, инвариантно относительно группы которая действует на нем с помощью голоморфного гомоморфизма

Пусть обозначает единственное -инвариантное сечение, которое равно 1 в отмеченной точке. Вспоминая, что сечения расслоения это то же самое, что голоморфные отображения удовлетворяющие условию

для всех мы можем, используя определить комплексно-линейное отображение

полагая для . (Проверяя, что для нужно заметить, что так как комплексификация гомоморфизма то справедливо соотношение к Легко видеть, что отображение эквивариантно относительно хотя и не эквивариантно относительно Оно коммутирует также с поворотами окружности, т. е. сохраняет уровни энергии.

Отображение определяет полуторалинейное скалярное произведение :

Это скалярное произведение эрмитово, т. е.

Достаточно доказать (11.1.4) для элементов вида где для по определению Для них справедливо

соотношение

а эрмитовость вытекает из тождества

которое выполняется, потому что это -инвариантный элемент из и поэтому обязан совпадать с (Элементы порождают плотное подпространство в так как если для всех у, то

Форма -инвариантна, и подпространства фиксированной энергии для взаимно ортогональны. Теперь мы докажем, используя оператор Казимира — следуя аргументам Гэрленда [54], — что эта форма положительно определена. Из этого следует, что отображает каждое конечномерное пространство изоморфно на а потому пространство векторов конечной энергии в приобретает положительно определенное скалярное произведение. По непрерывности это скалярное произведение окажется положительно определенным на Это завершит доказательство

Оператор Казимира из разд. 9.4 действует на ибо все векторы в гладкие, и действие I на поворотами, очевидно, расширяется до -действия, если разлагается в произведение простых или абелевых алгебр Ли.

Элемент который задается значением сечения в отмеченной точке, — это циклический вектор для так как а векторы порождают Он аннулируется также алгеброй Ли инвариантен относительно поворотов, а относительно действия Т имеет вес Как и в (9.4.9), мы получаем, что А действует на умножением на

Заметим, что а значит,

Мы хотим доказать, что для любого ненулевого элемента из Проведем индукцию по результат справедлив при ибо пространство не содержит векторов младшего веса для отличных от а потому является неприводимым представлением группы значит, на нем есть по существу единственное G-инвариантное скалярное произведение.

Мы можем также считать, что весовой вектор относительно действия с весом

(Здесь ) - это «мультиэнергия» и Мы можем считать также, что антидоминантен, ибо этого можно добиться действием на элемента из Тогда мы получаем

Напомним (см. разд. 9.4), что

Поэтому

ибо по предположению индукции. Чтобы получить, что и закончить доказательство, нам нужно знать, что

В обозначениях (9.4.10) мы имеем

Это выражение строго положительно, так как — сумма положительных корней, и для любого простого корня ибо антидоминантные веса, а

Доказательство Мы знаем теперь, что индуцирует изоморфизм частей конечной энергии. Мы знаем также, что пространство циклично и порождено вектором младшего веса и что не содержит векторов младшего веса (т. е. -инвариантных векторов), отличных от скалярных кратных Отсюда следует, что неприводимо как представление группы так как любое представление должно содержать вектор младшего веса по тем же причинам, что и само Используя (9.2.3), мы можем заключить, что неприводимо и как представление группы

Замечания (11.1.5). (i) Мы отмечали в процессе доказательства, что действие I на продолжается до действия если разложено в сумму др. Принимая во внимание результат следующего раздела о том, что все представления группы существенно эквивалентны суммам представлений вида мы получаем, что Т-действие на любом представлении всегда продолжается до -действия.

(ii) Подгруппа не инвариантна относительно действия диффеоморфизмов окружности. Она, правда, инвариантна относительно подгруппы состоящей из диффеоморфизмов, продолжающихся до голоморфных автоморфизмов единичного диска. Таким образом, действие Т на любом представлении: всегда продолжается до действия