7.4. Клеточное разбиение пространства Gr(H)

Грассманиан конечномерного векторного пространства обладает классическим разбиением на клетки Шуберта (см. [68] или [116]). Наш грассманиан есть объединение

конечномерных грассманианов и он также может быть разбит на клетки Шуберта. Это разбиение в следующем смысле двойственно к стратификации пространства описанной в предыдущем разделе:

(i) клетки и страты нумеруются одним и тем же множеством

(ii) размерность клетки равна коразмерности страта ;

(iii) пересекает трансверсально в единственной точке и не пересекается с другими стратами той же коразмерности.

Для описания определим сначала копорядок полиномиального элемента

пространства как наименьшее число такое, что Тогда для множество

лежит в , для мы положим

Предложение (7.4.1). (i) является замкнутым подмногообразием в открытом множестве пространства диффеоморфным

(ii) есть орбита подпространства под действием «строго верхней треугольной» подгруппы группы

(iii) Если лежит в то

Замыкание пространства есть объединение всех

Пространство пересекается с тогда и только тогда, когда причем пересекается с трансверсально в единственной точке

Здесь строго верхняя треугольная подгруппа состоит из всех таких А, что для всех

Доказательство. Наше предложение совершенно аналогично (7.3.3). Существенным является наблюдение, что состоит из графиков всех операторов матричные элементы которых равны нулю при